Seja C o arco da curva obtida como interseção das superficies x^2+y^2+z^2=4 e y=x, que liga o ponto (0,0,2) ao ponto (1,1, raiz2).
Calcular integralC z d s

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de linha integralC z,ds, onde C é o arco da interseção da esfera x^2+y^2+z^2=4 com o plano y=x, indo de (0,0,2) até (1,1,raiz2). Vamos usar parametrização de curvas e a definição de comprimento de arco para resolver.

Passo 2

Como y=x, na esfera temos x^2+x^2+z^2=4, isto é 2x^2+z^2=4, e escolhemos a parte superior z=+raiz4-2x^2. Então parametrizamos por
[ r(t) = (t,;t,;\sqrt{4-2t^2}),\quad 0\le t\le1. ]

Passo 3

Calculamos a derivada r'(t) e o elemento de comprimento ds=|r'(t)|,dt. Temos
[ r’(t) = \bigl(1,;1,;-\tfrac{2t}{\sqrt{4-2t^2}}\bigr), ]
e
[ |r’(t)| = \sqrt{1+1+\frac{4t2}{4-2t2}} = \sqrt{\frac{8}{4-2t^2}} = \frac{2\sqrt2}{\sqrt{4-2t^2}}. ]

Passo 4

A integral fica
[ \int_C z,ds = \int_{0}^{1} \sqrt{4-2t2};\frac{2\sqrt2}{\sqrt{4-2t2}},dt = \int_{0}^{1} 2\sqrt2;dt. ]

Passo 5

Integrando de 0 a 1 obtemos
[ \int_{0}^{1} 2\sqrt2,dt = 2\sqrt2. ]

Resposta

2\sqrt{2}

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