Seja
o arco da curva obtida como interseção das superficies
e
, que liga o ponto
ao ponto
.
Calcular
Passo 1
A questão pede para calcular a integral de linha
, onde
é o arco da interseção da esfera
com o plano
, indo de
até
. Vamos usar parametrização de curvas e a definição de comprimento de arco para resolver.
Passo 2
Como
, na esfera temos
, isto é
, e escolhemos a parte superior
. Então parametrizamos por
[ r(t) = (t,;t,;\sqrt{4-2t^2}),\quad 0\le t\le1. ]
[ r(t) = (t,;t,;\sqrt{4-2t^2}),\quad 0\le t\le1. ]
Passo 3
Calculamos a derivada
e o elemento de comprimento
. Temos
[ r’(t) = \bigl(1,;1,;-\tfrac{2t}{\sqrt{4-2t^2}}\bigr), ]
e
[ |r’(t)| = \sqrt{1+1+\frac{4t2}{4-2t2}} = \sqrt{\frac{8}{4-2t^2}} = \frac{2\sqrt2}{\sqrt{4-2t^2}}. ]
[ r’(t) = \bigl(1,;1,;-\tfrac{2t}{\sqrt{4-2t^2}}\bigr), ]
e
[ |r’(t)| = \sqrt{1+1+\frac{4t2}{4-2t2}} = \sqrt{\frac{8}{4-2t^2}} = \frac{2\sqrt2}{\sqrt{4-2t^2}}. ]
Passo 4
A integral fica
[ \int_C z,ds = \int_{0}^{1} \sqrt{4-2t2};\frac{2\sqrt2}{\sqrt{4-2t2}},dt = \int_{0}^{1} 2\sqrt2;dt. ]
[ \int_C z,ds = \int_{0}^{1} \sqrt{4-2t2};\frac{2\sqrt2}{\sqrt{4-2t2}},dt = \int_{0}^{1} 2\sqrt2;dt. ]
Passo 5
Integrando de
a
obtemos
[ \int_{0}^{1} 2\sqrt2,dt = 2\sqrt2. ]
[ \int_{0}^{1} 2\sqrt2,dt = 2\sqrt2. ]
Resposta
2\sqrt{2}