Para a região
delimitada pelas retas
e
determine a integral:
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
na região R dada por
e
. Vamos usar propriedades de logaritmos e integrais iteradas.
Passo 2
A gente usa a identidade
e escreve a integral iterada:
Passo 3
Integramos primeiro em relação a
, lembrando que
é constante quando integramos em
:
Passo 4
Agora avaliamos
:
No ponto :
,
No ponto :
,
então a diferença é .
Isso faz a integral interna ficar .
No ponto
No ponto
então a diferença é
Isso faz a integral interna ficar
Passo 5
Depois, integramos em
:
Passo 6
Para
usamos a primitiva
:
Logo o primeiro termo é
e o segundo termo
.
Passo 7
Somando as duas partes da integral em
a gente chega em
Portanto, o valor da integral dupla é
.
Resposta
2(e-1)