Para a região R delimitada pelas retas y1= 1, y2=e, x1=1 e x2=e determine a integral:
integral duplaR ln (x y) d A

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla integral duplaRln(xy),dA na região R dada por 1<= x<= e e 1<= y<= e. Vamos usar propriedades de logaritmos e integrais iteradas.

Passo 2

A gente usa a identidade ln(xy)=ln x+ln y e escreve a integral iterada:
integralx=1^eintegraly=1^e[ln x+ln y] ,dy,dx

Passo 3

Integramos primeiro em relação a y, lembrando que ln x é constante quando integramos em y:
integraly=1^e[ln x+ln y] ,dy =ln xintegral1^edy+integral1^eln y,dy =(e-1)ln x+l[yln y- yr]1^e

Passo 4

Agora avaliamos l[yln y- yr]1^e:
No ponto y=e:
eln e - e = e - e = 0,
No ponto y=1:
1ln 1 - 1 = -1,
então a diferença é 0 - (-1)=1.
Isso faz a integral interna ficar (e-1)ln x +1.

Passo 5

Depois, integramos em x:
integralx=1^el[(e-1)ln x +1r] ,dx =(e-1)integral1^eln x,dx+integral1^e1,dx

Passo 6

Para integral1^eln x,dx usamos a primitiva xln x - x:
l[xln x - xr]1^e=(ecdot1 - e)-(1cdot0-1)=0-(-1)=1
Logo o primeiro termo é (e-1)cdot1=e-1 e o segundo termo integral1^e1,dx=e-1.

Passo 7

Somando as duas partes da integral em x a gente chega em
(e-1)+(e-1)=2(e-1)
Portanto, o valor da integral dupla é 2(e-1).

Resposta

2(e-1)

Exercícios relacionados