Avalie a integral ) u.v.

Passo 1

O exercício pede avaliar a integral dupla integral0^1 integral0^raiz1-x^2 (x^2+y^2),dy,dx sobre a região D definida por 0<= x<=1 e 0<= y<=raiz1-x^2. O conteúdo envolvido é integral dupla e troca para coordenadas polares para simplificar a conta.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos x=rcostheta, y=rsintheta e sabemos que o elemento de área é dA=r,dr,dtheta. Além disso, x^2+y^2=r^2. A região D corresponde a um quarto de círculo de raio 1, ou seja, rin[0,1] e thetain[0,pi/2].

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos:
integral0^pi/2integral0^1r^2cdot r,dr,dtheta = integral0^pi/2integral0^1r^3,dr,dtheta

Passo 4

Vamos calcular em duas etapas: primeiro a integral em r:
integral0^1r^3,dr = r^44|0^1 = 14
Depois a integral em theta:
integral0^pi/2dtheta = pi2
Multiplicando os resultados, encontramos 14cdotpi2=pi8.

Resposta

pi8

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