(12,0) Calcule a derivada das seguintes funções:
g(z)=(z^2-1z^2)^6

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(z)=l(z^2-tfrac1z^2r)^6
Aqui vamos usar o regra da cadeia, que diz que, se g(z) = [h(z)]^6, então
g'(z) = 6,[h(z)]^5,h'(z)
Também vamos precisar da regra do produto por potência para derivar z^n.

Passo 2

Definimos a função interna
h(z)=z^2-1z^2=z^2-z^-2
Aplicando a regra de potência em cada termo, obtemos
h'(z)=2z -(-2)z^-3=2z+2z^-3

Passo 3

Pela regra da cadeia,
g'(z)=6l(h(z)r)^5,h'(z) =6l(z^2-z^-2r)^5l(2z+2z^-3r)
Fatorando 2 em h'(z), vem
g'(z)=12l(z^2-z^-2r)^5l(z+z^-3r)

Passo 4

Podemos escrever
z^2-z^-2=z^4-1z^2, z+z^-3=z^4+1z^3,
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l(z^2-z^-2r)^5 =(z^4-1)^5z^10, z+z^-3=z^4+1z^3
e assim
g'(z) =12;(z^4-1)^5z^10;z^4+1z^3 =12,(z^4-1)^5(z^4+1)z^13

Resposta

g'(z)=12l(z^2-tfrac1z^2r)^5l(z+tfrac1z^3r) ou g'(z)=12,(z^4-1)^5(z^4+1)z^13

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