Resolva por transformadas de Laplace.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, a equação
com condição inicial
.
O conteúdo que vamos usar inclui:
– a propriedade e
,
– a propriedade ,
onde .
O conteúdo que vamos usar inclui:
– a propriedade
– a propriedade
onde
Passo 2
Aplique
em cada termo da ODE:
– . Como
, isso vira
–
–
–
–
Assim a equação transformada é
Passo 3
Reescrevendo e agrupando termos em derivadas:
Expanda a derivada:
Isto é uma EDO em
. Podemos separar:
onde
é constante de integração.
Passo 4
Agora invertemos a transformada. Sabemos que
Tomando
e multiplicando por
, obtemos
Passo 5
Impondo
:
que é satisfeito para qualquer
.
Portanto a família de soluções é
Portanto a família de soluções é
com
constante arbitrária.