Resolva por transformadas de Laplace.
t x^prime prime-2 x^prime+9 t x=0, x(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, a equação
t,x''(t);-;2,x'(t);+;9,t,x(t);=;0,
com condição inicial ,x(0)=0.
O conteúdo que vamos usar inclui:
– a propriedade Lx'(s)=sX(s)-x(0) e Lx''(s)=s^2X(s)-s,x(0)-x'(0),
– a propriedade Lt,f(t)(s)=-ddsF(s),
onde X(s)= Lx(t)(s).

Passo 2

Aplique Lcdot em cada termo da ODE:
Lt,x''(t)(s)=-ddsl[s^2X(s)-s,x(0)-x'(0)r]. Como x(0)=0, isso vira
-ddsl[s^2X(s)-x'(0)r] ;=;-,ddsl[s^2X(s)r]
L-2x'(t)(s)=-2l[sX(s)-x(0)r]=-2sX(s)
L9t,x(t)(s)=-9,ddsX(s)
Assim a equação transformada é
-,ddsl[s^2X(s)r];-;2sX(s);-;9,ddsX(s);=;0

Passo 3

Reescrevendo e agrupando termos em derivadas:
-,ddsl[s^2X(s)r];-;9,ddsX(s);-;2sX(s)=0 ;Longrightarrow; ddsl[(s^2+9)X(s)r]+2sX(s)=0
Expanda a derivada:
(s^2+9),X'(s)+2s,X(s)+2s,X(s)=0 ;Longrightarrow; (s^2+9),X'(s)+4s,X(s)=0
Isto é uma EDO em X(s). Podemos separar:
X'(s)X(s)=-4ss^2+9 ;Longrightarrow; ln X(s)=-2ln(s^2+9)+ln C ;Longrightarrow; X(s)=C(s^2+9)^2,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Agora invertemos a transformada. Sabemos que
L^-1!l1(s^2+a^2)^2r(t) =12a^3,l[sin(at)-a,tcos(at)r]
Tomando a=3 e multiplicando por C, obtemos
x(t) = L^-1X(s) =C(3)^3;2,l[sin(3t)-3tcos(3t)r] =C54,l[sin(3t)-3tcos(3t)r]

Passo 5

Impondo x(0)=0:
x(0)=C54l[0-0r]=0,
que é satisfeito para qualquer C.
Portanto a família de soluções é
x(t)=C54,l[sin(3t)-3tcos(3t)r],
com C constante arbitrária.

Resposta

boxedx(t)=C54,l[sin(3t)-3tcos(3t)r], Cin R

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