Considere a equação:
(a) Mostre que não é exata.
(b) Encontre um fator integrante.
(c) Resolva a equação exata.
46. (a) Considere o operador diferencial linear de segunda ordem, dado por
Mostre a fórmula
(b) Encontre um fator integrante.
(c) Resolva a equação exata.
46. (a) Considere o operador diferencial linear de segunda ordem, dado por
Passo 1
O enunciado nos dá a diferencial
com
O conteúdo aqui é equação diferencial exata e fator integrante. Para verificar exatidão usamos a condição
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Para achar um fator integrante
que dependa só de
, usamos
que depende só de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação por
. Chamando
temos a equação exata
. Buscamos uma função potencial
tal que
e
. Integramos
Derivando em
e igualando a
determina
.
Passo 5
A solução implícita fica
que é a integral geral da equação original.
Passo 6
No exercício 46(a) temos o operador
Queremos mostrar
Começamos por expandir
Pela regra do produto
Substituindo,
Agrupando termos:
Observe que
Somando
aparece duas vezes
, então
Por fim, somando
recuperamos exatamente
.
Resposta
(a) A equação não é exata porque
.
(b) O fator integrante é .
(c) A solução geral é
(b) O fator integrante é
(c) A solução geral é
No exercício 46(a), a identidade fica