Considere a equação:
(x^2+y^2) d x+(4 x y^3+2 x y+43 y x^3) d y=0
(a) Mostre que não é exata.
(b) Encontre um fator integrante.
(c) Resolva a equação exata.
46. (a) Considere o operador diferencial linear de segunda ordem, dado por
L[y]=P y^prime prime+Q y^prime+R y
Mostre a fórmula
L[f g]=L[f] g+f L[g]-R f g+2 P f^prime g^prime

Passo 1

O enunciado nos dá a diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=x^2+y^2, N(x,y)=4x y^3+2x y+tfrac43x^3y
O conteúdo aqui é equação diferencial exata e fator integrante. Para verificar exatidão usamos a condição
partial Mpartial y=partial Npartial x

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=2y, partial Npartial x =4y^3+2y+4x^2y
Como 2yneq4y^3+2y+4x^2y, a equação não é exata.

Passo 3

Para achar um fator integrante mu que dependa só de y, usamos
partial N/partial x-partial M/partial yM =(4y^3+2y+4x^2y)-2yx^2+y^2 =4y,(x^2+y^2)x^2+y^2 =4y,
que depende só de y. Logo
mu(y)=expl(integral4y,dyr) =e^2y^2

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(y). Chamando
widetilde M=(x^2+y^2)e^2y^2, widetilde N=(4x y^3+2x y+tfrac43x^3y)e^2y^2,
temos a equação exata
widetilde M,dx+widetilde N,dy=0. Buscamos uma função potencial
Psi(x,y) tal que
Psix=widetilde M e Psiy=widetilde N. Integramos
Psi(x,y)=integral widetilde M,dx =integral (x^2+y^2)e^2y^2,dx =e^2y^2l(tfracx^33+x,y^2r)+h(y)
Derivando em y e igualando a widetilde N determina h'(y)=0.

Passo 5

A solução implícita fica
Psi(x,y) =e^2y^2l(tfracx^33+x,y^2r)=C,
que é a integral geral da equação original.

Passo 6

No exercício 46(a) temos o operador
L[y]=P,y''+Q,y'+R,y
Queremos mostrar
L[f,g] = L[f],g + f,L[g] - R,f,g + 2P,f',g'
Começamos por expandir
L[f,g] = P,(f,g)'' + Q,(f,g)' + R,f,g
Pela regra do produto
(fg)'=f',g+f,g', (fg)''=f'',g+2f',g'+f,g''
Substituindo,
L[f,g] =P(f''g+2f'g'+fg'') +Q(f'g+fg') +Rfg
Agrupando termos:
=P,f''g+Q,f'g+R,f,g +P,f,g''+Q,f,g'+R,f,g +2P,f',g'
Observe que
L[f],g =(P,f''+Q,f'+R,f),g, f,L[g] =f,(P,g''+Q,g'+R,g)
Somando L[f]g+fL[g] aparece duas vezes Rfg, então
L[f]g+fL[g]-R,f,g =P,f''g+Q,f'g+P,f,g''+Q,f,g'+R,f,g
Por fim, somando 2P,f',g' recuperamos exatamente L[f,g].

Resposta

(a) A equação não é exata porque partial M/partial yneqpartial N/partial x.
(b) O fator integrante é mu(y)=e^2y^2.
(c) A solução geral é
e^2y^2l(tfracx^33+x,y^2r)=C
No exercício 46(a), a identidade fica
L[f,g] = L[f],g + f,L[g] - R,f,g + 2P,f',g'

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