(12,0) Calcule a derivada das seguintes funções:
f(t)=8 t+15t^2-2 t+3

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função racional
f(t) = 8t + 15t^2 - 2t + 3
O conteúdo é derivação de quociente de funções, e vamos usar a regra do quociente: se
f(t) = u(t)v(t),
então
f'(t) = u'(t),v(t) - u(t),v'(t)l(v(t)r)^2

Passo 2

Identificamos
u(t) = 8t + 15 e v(t) = t^2 - 2t + 3
Calculamos as derivadas:
u'(t) = 8,
v'(t) = 2t - 2

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(t) = u'(t),v(t) - u(t),v'(t)l(v(t)r)^2 = 8,(t^2 - 2t + 3) - (8t + 15),(2t - 2)(t^2 - 2t + 3)^2
Agora expandimos o numerador:
8(t^2 - 2t + 3) = 8t^2 - 16t + 24,
(8t + 15)(2t - 2) = 2l(8t^2 +7t -15r) = 16t^2 +14t -30
Subtraindo:
8t^2 - 16t + 24 ;-;(16t^2 +14t -30) = -8t^2 -30t +54

Passo 4

Portanto, a derivada fica
f'(t) = -8t^2 - 30t + 54l(t^2 - 2t + 3r)^2

Resposta

f'(t) = -8t^2 - 30t + 54(t^2 - 2t + 3)^2

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