Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de f em torno de (\mathrm{x}_{0})
cos (x) em torno de 0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 5 para f(x)=cos(x) em torno de x0=0. Vamos usar a fórmula geral de Taylor centrada em zero, que exige conhecer as derivadas de f em 0 até a quinta ordem.

Passo 2

As derivadas de f(x)=cos(x) avaliadas em x=0 são:
f(0)=cos(0)=1,
f'(0)=-sin(0)=0,
f''(0)=-cos(0)=-1,
f'''(0)=sin(0)=0,
f''''(0)=cos(0)=1,
f^(5)(0)=-sin(0)=0.

Passo 3

A fórmula do polinômio de Taylor de ordem 5 em torno de zero é
T5(x)=sumk=0^5f^(k)(0)k!,x^k
Substituindo somente os termos não nulos ( k=0,2,4):
T5(x) = f(0)0!x^0 + f''(0)2!x^2 + f''''(0)4!x^4 = 1 + -12!x^2 + 14!x^4

Resposta

T5(x)=1 - x^22! + x^44!

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