Resolva a EDO:
2 y^2 y^prime prime+2 y(y^prime)^2=0, y>0, y^prime>0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem
2y^2y'' + 2yl(y'r)^2 = 0,
com as condições y>0 e y'>0. Vamos resolver reduzindo a ordem: definimos v = y' e usamos a regra da cadeia.

Passo 2

Dividimos a equação por 2y (já que y>0), obtendo
y,y'' + l(y'r)^2 = 0

Passo 3

Com v = y', temos y'' = dv/dx. Pela regra da cadeia,
dvdx = dvdy,dydx = v,dvdy
Substituindo em y,y'' + (y')^2=0
y;v,dvdy + v^2 = 0

Passo 4

Como v=y'>0, podemos dividir por v e obter a EDO de primeira ordem
y,dvdy + v = 0

Passo 5

Separamos e integramos:
dvv = -dyy Longrightarrow ln v = -ln y + C1 Longrightarrow v,y = C,
onde C=e^C1.

Passo 6

Voltando a y', escrevemos
y' = Cy
Separe e integre:
y,dy = C,dx Longrightarrow 12y^2 = Cx + C2

Passo 7

Multiplicando por 2 e renomeando constantes ( A=2C, B=2C2), obtemos
y^2 = Ax + B Longrightarrow y(x) = raizAx + B
A condição y'>0 exige que A>0.

Resposta

A solução geral, com y>0 e y'>0, é
y(x) = raizA,x + B,
onde A>0 e B são constantes de integração.

Exercícios relacionados