(12,0) Calcule a derivada das seguintes funções:
f(z)=\frac{8-z+3 z^{2}}{2-9 z}
f(z)=\frac{8-z+3 z^{2}}{2-9 z}
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular a derivada da função
. A gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente a regra do quociente, que serve quando temos uma divisão de duas funções e queremos derivar tudo isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. Isso é importante porque na regra do quociente a gente precisa derivar cada uma dessas partes separadamente.
- Numerador (N):
- Denominador (D):
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona a regra do quociente. Se temos uma função
, a derivada dela é dada por:
Isso significa que a gente vai derivar o numerador e o denominador separadamente e depois aplicar essa fórmula.
Passo 4
Vamos começar derivando o numerador
:
Derivando termo a termo:
- A derivada de 8 é 0.
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então,
Passo 5
Agora, vamos derivar o denominador
:
Derivando termo a termo:
- A derivada de 2 é 0.
- A derivada de
é .
Então,
Passo 6
Com as derivadas do numerador e do denominador em mãos, vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, expandir
:
Agora, expandir
:
Então, o numerador fica:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 8
Agora, substituímos o numerador simplificado de volta na fórmula da derivada:
Resposta
A derivada da função
é: