(12,0) Calcule a derivada das seguintes funções:
f(z)=\frac{8-z+3 z^{2}}{2-9 z}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular a derivada da função f(z) = 8 - z + 3z^22 - 9z . A gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente a regra do quociente, que serve quando temos uma divisão de duas funções e queremos derivar tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. Isso é importante porque na regra do quociente a gente precisa derivar cada uma dessas partes separadamente.
  • Numerador (N): N(z) = 8 - z + 3z^2
  • Denominador (D): D(z) = 2 - 9z

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a regra do quociente. Se temos uma função f(z) = N(z)D(z) , a derivada dela é dada por:
f'(z) = N'(z) cdot D(z) - N(z) cdot D'(z)[D(z)]^2
Isso significa que a gente vai derivar o numerador e o denominador separadamente e depois aplicar essa fórmula.

Passo 4

Vamos começar derivando o numerador N(z) :
N(z) = 8 - z + 3z^2
Derivando termo a termo:
  • A derivada de 8 é 0.
  • A derivada de -z é -1.
  • A derivada de 3z^2 é 6z.
Então,
N'(z) = 0 - 1 + 6z = 6z - 1

Passo 5

Agora, vamos derivar o denominador D(z) :
D(z) = 2 - 9z
Derivando termo a termo:
  • A derivada de 2 é 0.
  • A derivada de -9z é -9.
Então,
D'(z) = 0 - 9 = -9

Passo 6

Com as derivadas do numerador e do denominador em mãos, vamos aplicar a regra do quociente:
f'(z) = N'(z) cdot D(z) - N(z) cdot D'(z)[D(z)]^2
Substituindo os valores que encontramos:
f'(z) = (6z - 1)(2 - 9z) - (8 - z + 3z^2)(-9)(2 - 9z)^2

Passo 7

Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Primeiro, expandir (6z - 1)(2 - 9z) :
(6z)(2) + (6z)(-9z) + (-1)(2) + (-1)(-9z) = 12z - 54z^2 - 2 + 9z = -54z^2 + 21z - 2
Agora, expandir (8 - z + 3z^2)(-9) :
8(-9) + (-z)(-9) + 3z^2(-9) = -72 + 9z - 27z^2
Então, o numerador fica:
(-54z^2 + 21z - 2) - (-72 + 9z - 27z^2) = -54z^2 + 21z - 2 + 72 - 9z + 27z^2
Simplificando os termos semelhantes:
(-54z^2 + 27z^2) + (21z - 9z) + (-2 + 72) = -27z^2 + 12z + 70

Passo 8

Agora, substituímos o numerador simplificado de volta na fórmula da derivada:
f'(z) = -27z^2 + 12z + 70(2 - 9z)^2

Resposta

A derivada da função f(z) = 8 - z + 3z^22 - 9z é:
f'(z) = -27z^2 + 12z + 70(2 - 9z)^2

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