Determine o vetor m=(a, b, c) tal que : m cdot(2,3,4)=9 e m times(-1,1,-1)=(-2,0,2).

Passo 1

O enunciado pede o vetor vec m=(a,b,c) que satisfaz simultaneamente a condição de produto escalar
vec mcdot(2,3,4)=9
e a condição de produto vetorial
vec mtimes(-1,1,-1)=(-2,0,2).
O conteúdo necessário envolve as definições de produto escalar e produto vetorial em R^3.

Passo 2

Para o produto vetorial usamos a fórmula
vec mtimes vec u = (b,u3 - c,u2,;c,u1 - a,u3,;a,u2 - b,u1),
onde vec m=(a,b,c) e vec u=(u1,u2,u3). No nosso caso vec u=(-1,1,-1).

Passo 3

Substituindo vec u=(-1,1,-1) na expressão do produto vetorial e igualando a (-2,0,2) obtemos o sistema
(-b - c,;a - c,;a + b) = (-2,0,2),
isto é
-b - c = -2, a - c = 0, a + b = 2

Passo 4

Das equações de produto vetorial temos:
a - c = 0 implies a = c,
-b - c = -2 implies b + c = 2
A terceira equação a + b = 2 é equivalente à segunda, então ficamos com a = c e b = 2 - c.

Passo 5

Agora aplicamos a condição do produto escalar:
vec mcdot(2,3,4) = 2a + 3b + 4c = 9
Substituindo a = c e b = 2 - c temos
2c + 3(2 - c) + 4c = 9
2c + 6 - 3c + 4c = 9
3c + 6 = 9 implies c = 1
Logo a = 1 e b = 2 - 1 = 1.

Resposta

vec m = (1,1,1)

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