(12,0) Calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=\frac{1-\cos x}{x}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função g(x) = 1 - cos xx . Estamos lidando com derivadas de funções que são quocientes, então vamos precisar usar a Regra do Quociente para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Regra do Quociente. Se temos uma função que é o quociente de duas funções, ou seja, f(x)h(x) , a derivada dessa função é dada por:
( f(x)h(x) )' = f'(x) cdot h(x) - f(x) cdot h'(x)[h(x)]^2
Ou seja, a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo isso dividido pelo denominador ao quadrado.

Passo 3

Agora, identificando f(x) e h(x) na nossa função:
f(x) = 1 - cos x e h(x) = x
Vamos calcular as derivadas de f(x) e h(x) :
f'(x) = ddx(1 - cos x) = 0 - (-sin x) = sin x
h'(x) = ddx(x) = 1

Passo 4

Aplicando a Regra do Quociente:
g'(x) = f'(x) cdot h(x) - f(x) cdot h'(x)[h(x)]^2 = sin x cdot x - (1 - cos x) cdot 1x^2
Simplificando o numerador:
g'(x) = x sin x - 1 + cos xx^2

Resposta

A derivada da função g(x) é:
g'(x) = x sin x - 1 + cos xx^2

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