(12,0) Calcule a derivada das seguintes funções:
s(t)=\left(\frac{3 t+4}{6 t-6}\right)^{3}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função s(t) = (3t + 46t - 6)^3 . Isso envolve o conteúdo de derivadas, especificamente aplicando a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e como lidar com frações dentro dessa composição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está elevada ao cubo: 3t + 46t - 6 . Para derivar s(t) = ( função )^3 çã, usamos a regra da cadeia, que nos diz para multiplicar a derivada da potência pelo expoente e depois multiplicar pela derivada da função interna.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, temos:
s'(t) = 3 (3t + 46t - 6)^2 cdot ddt ( 3t + 46t - 6 )
Agora, precisamos encontrar a derivada da fração 3t + 46t - 6 .

Passo 4

Para derivar a fração 3t + 46t - 6 , usamos a regra do quociente, que diz:
ddt ( uv ) = u'v - uv'v^2
Onde u = 3t + 4 e v = 6t - 6 .

Passo 5

Vamos calcular u' e v' :
u' = ddt(3t + 4) = 3
v' = ddt(6t - 6) = 6

Passo 6

Agora, aplicando a regra do quociente:
ddt ( 3t + 46t - 6 ) = (3)(6t - 6) - (3t + 4)(6)(6t - 6)^2

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
3(6t - 6) = 18t - 18
(3t + 4)(6) = 18t + 24
18t - 18 - (18t + 24) = 18t - 18 - 18t - 24 = -42
Então, a derivada da fração é:
-42(6t - 6)^2

Passo 8

Voltando à expressão da derivada de s(t) :
s'(t) = 3 (3t + 46t - 6)^2 cdot ( -42(6t - 6)^2 )

Passo 9

Agora, vamos multiplicar os termos:
s'(t) = 3 cdot (-42) cdot (3t + 46t - 6)^2 cdot 1(6t - 6)^2
s'(t) = -126 cdot (3t + 4)^2(6t - 6)^4

Resposta

A derivada da função é:
s'(t) = -126 cdot (3t + 4)^2(6t - 6)^4

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