Em cada item abaixo determine as antiderivadas.
33.
integral(4 cosec^1 x cotg x+2 sec ^2 x) d x

Passo 1

Aqui temos que calcular integral (4,csc x,cot x + 2,sec^2 x),dx. O conteúdo envolvido é reconhecer integrais de funções trigonométricas cujas derivadas conhecemos: csc x e tan x.

Passo 2

Vamos tratar primeiro o termo 4,csc x,cot x. Sabemos que
ddx(csc x) = -csc x,cot x
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integral csc x,cot x,dx = -csc x + C
Multiplicando por 4, obtemos
integral 4,csc x,cot x,dx = -4csc x + C

Passo 3

Agora o termo 2,sec^2 x. Usamos que
ddx(tan x) = sec^2 x,
então
integral sec^2 x,dx = tan x + C
Multiplicando por 2, temos
integral 2,sec^2 x,dx = 2tan x + C

Passo 4

Bast a somar as duas partes e unificar as constantes em uma só, resultando em
-4csc x + 2tan x + C

Resposta

-4 csc x + 2 tan x + C

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