(12,0) Calcule a derivada das seguintes funções:
\sqrt{x^{2}+1} \operatorname{tg} \sqrt{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=raizx^2+1,tanl(raizx^2+1r)
Aqui vamos usar a regra do produto e, para cada fator que dependa de x, a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função auxiliar
g(x)=raizx^2+1=(x^2+1)^tfrac12
Sua derivada, pela regra da potência e da cadeia, é
g'(x)=12,(x^2+1)^-tfrac12cdot 2x =xraizx^2+1

Passo 3

Aplicamos a regra do produto a
f(x)=g(x),tanl(g(x)r)
Isso dá
f'(x)=g'(x),tanl(g(x)r) +g(x),ddxl[tanl(g(x)r)r]
Em seguida usamos a regra da cadeia na derivada de tan(g(x)):
ddxtanl(g(x)r) =sec^2l(g(x)r),g'(x)

Passo 4

Substituindo em f'(x) temos
f'(x) =g'(x),tanl(g(x)r) +g(x),sec^2l(g(x)r),g'(x) =g'(x)l[tanl(g(x)r)+g(x),sec^2l(g(x)r)r]
Por fim, lembrando g(x)=raizx^2+1 e g'(x)=xraizx^2+1,
f'(x) =xraizx^2+1 l[tanl(raizx^2+1r) +raizx^2+1,sec^2l(raizx^2+1r)r]

Resposta

f'(x) =xraizx^2+1 l[tanl(raizx^2+1r) +raizx^2+1,sec^2l(raizx^2+1r)r]

Exercícios relacionados