\int_{0}^{\pi / 4} e^{\tan x} \operatorname{sec} ^{2} x d x
Subst.: u=\tan x \Rightarrow d u=\operatorname{sec} ^{2} x d x. Limites: 0 \rightarrow 1.
\int_{0}^{1} e^{u} d u=\left.e^{u}\right|_{0} ^{1}=e-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/4} e^{\tan x}\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx
Aqui vamos usar a técnica de substituição em integrais, aproveitando que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \tan x \qquad\Longrightarrow\qquad du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx
Isso elimina o fator \operatorname{sec}^{2}x\,dx na integral original.

Passo 3

Precisamos transformar também os limites de integração:
quando x=0, u=\tan0=0;
quando x=\pi/4, u=\tan(\pi/4)=1.

Passo 4

Com tudo em u, a integral fica
\int_{0}^{\pi/4} e^{\tan x}\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx \;=\; \int_{0}^{1} e^{u}\,du.

Passo 5

Sabemos que
\int e^{u}\,du = e^{u} + C.
Logo, avaliando de u=0 até u=1, obtemos
\left.e^{u}\right|_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1.

Resposta

e - 1

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