12.4 Calcule a transformada de Laplace inversa
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{2 s^{2}+6 s+3}{s^{3}+4 s^{2}+3 s}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função racional
\frac{2s^{2} + 6s + 3}{s^{3} + 4s^{2} + 3s}
Isso cai em técnicas de frações parciais para decompor em termos cujas antitransformadas são conhecidas (constantes e exponenciais).

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
s^{3} + 4s^{2} + 3s = s\,(s^{2} + 4s + 3) = s\,(s+1)\,(s+3).

Passo 3

Assumimos a forma de frações parciais
\frac{2s^{2} + 6s + 3}{s\,(s+1)\,(s+3)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por s(s+1)(s+3), obtemos
2s^{2} + 6s + 3 = A\,(s+1)(s+3) + B\,s(s+3) + C\,s(s+1).

Passo 4

Expandindo e coletando termos em potências de s:
A(s^{2}+4s+3) + B(s^{2}+3s) + C(s^{2}+s) = (A+B+C)s^{2} + (4A+3B+C)s + 3A.
Compare com 2s^{2} + 6s + 3:
  1. A + B + C = 2
  2. 4A + 3B + C = 6
  3. 3A = 3 \implies A = 1.
    Substituindo A=1 em 1 e 2:
1 + B + C = 2 \implies B + C = 1,
4 + 3B + C = 6 \implies 3B + C = 2.
Subtraindo, 2B = 1\implies B = \tfrac12, e C = 1 - \tfrac12 = \tfrac12.

Passo 5

Então
\frac{2s^{2} + 6s + 3}{s(s+1)(s+3)} = \frac{1}{s} + \frac{\tfrac12}{s+1} + \frac{\tfrac12}{s+3}.
Aplicando a transformada inversa em cada termo:
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s}\Bigr\} = 1,\quad \mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1/2}{s+1}\Bigr\} = \tfrac12\,e^{-t},\quad \mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1/2}{s+3}\Bigr\} = \tfrac12\,e^{-3t}.

Resposta

f(t) = 1 + \tfrac12\,e^{-t} + \tfrac12\,e^{-3t}.

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