12.3 Prove a equação (12.3).
\mathscr{L}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\}=\alpha \mathscr{L}\{f(t)\}+\beta \mathscr{L}\{g(t)\}

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de linearidade da transformada de Laplace, ou seja, que para quaisquer funções f e g (sujeitas às hipóteses de existência da transformada) e constantes \alpha e \beta vale
\mathscr{L}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\} =\alpha\,\mathscr{L}\{f(t)\} +\beta\,\mathscr{L}\{g(t)\}.
Para isso, vamos usar a definição integral da transformada de Laplace.

Passo 2

Pela definição, para uma função h(t) sua transformada de Laplace é
\mathscr{L}\{h(t)\} =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,h(t)\,\mathrm{d}t.
Logo, aplicando essa definição à combinação linear h(t)=\alpha f(t)+\beta g(t), obtemos
\mathscr{L}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\} =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\bigl(\alpha f(t)+\beta g(t)\bigr)\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Usamos a linearidade do integral: podemos tirar constantes para fora e distribuir a soma dentro da integral. Assim,
\int_{0}^{\infty}e^{-st}\bigl(\alpha f(t)+\beta g(t)\bigr)\,\mathrm{d}t =\alpha\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,\mathrm{d}t +\beta\int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)\,\mathrm{d}t.

Passo 4

Reconhecendo que
\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,\mathrm{d}t =\mathscr{L}\{f(t)\} \quad\text{e}\quad \int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)\,\mathrm{d}t =\mathscr{L}\{g(t)\},
concluímos
\mathscr{L}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\} =\alpha\,\mathscr{L}\{f(t)\} +\beta\,\mathscr{L}\{g(t)\}.

Resposta

\mathscr{L}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\} =\alpha\,\mathscr{L}\{f(t)\} +\beta\,\mathscr{L}\{g(t)\}.

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