12.3 Prove a equação (12.3).
Passo 1
O enunciado pede para provar a propriedade de linearidade da transformada de Laplace, ou seja, que para quaisquer funções
e
(sujeitas às hipóteses de existência da transformada) e constantes
e
vale
Para isso, vamos usar a definição integral da transformada de Laplace.
Passo 2
Pela definição, para uma função
sua transformada de Laplace é
Logo, aplicando essa definição à combinação linear
, obtemos
Passo 3
Usamos a linearidade do integral: podemos tirar constantes para fora e distribuir a soma dentro da integral. Assim,
Passo 4
Reconhecendo que
concluímos