\int_{0}^{\pi / 4} e^{\tan x} \operatorname{sec} ^{2} x d x
Subst.: u=\tan x \Rightarrow d u=\operatorname{sec} ^{2} x d x. Limites: 0 \rightarrow 1.
\int_{0}^{1} e^{u} d u=\left.e^{u}\right|_{0} ^{1}=e-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/4} e^{\tan x}\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx
O conteúdo de matéria é método de substituição em integrais.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = \tan x\
então
du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx
e a integral original passa a ter exatamente du no lugar de \operatorname{sec}^{2}x\,dx.

Passo 3

Agora ajustamos os limites de integração:
- Quando x=0, temos u=\tan0=0.
- Quando x=\pi/4, temos u=\tan(\pi/4)=1.
Logo a integral fica
\int_{0}^{1} e^{u}\,du

Passo 4

Integramos em u:
\int_{0}^{1} e^{u}\,du = e^{u}\Big|_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1

Resposta

e - 1

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