12.5 Resolva o problema de valor inicial
3 x^{\prime}+x=6 \mathrm{e}^{2 t} ; x(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial linear de 1ª ordem
3x' + x = 6e^{2t},
com a condição inicial x(0)=0. Vamos usar o método do fator integrante para equações lineares.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão x' + p(t)x = q(t) dividindo tudo por 3:
x' + \tfrac{1}{3}x = 2e^{2t}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\Bigl(\int \tfrac{1}{3}\,dt\Bigr) = e^{t/3}.
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
e^{t/3}x' + \tfrac{1}{3}e^{t/3}x = 2e^{2t}e^{t/3} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(e^{t/3}x\bigr)' = 2e^{7t/3}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \bigl(e^{t/3}x\bigr)'dt = e^{t/3}x, \qquad \int 2e^{7t/3}dt = 2\cdot \frac{3}{7}e^{7t/3} + C = \frac{6}{7}e^{7t/3} + C.
Logo
e^{t/3}x = \frac{6}{7}e^{7t/3} + C.

Passo 5

Isolando x fica
x(t) = \frac{6}{7}e^{7t/3}e^{-t/3} + Ce^{-t/3} = \frac{6}{7}e^{2t} + Ce^{-t/3}.
Para satisfazer x(0)=0 temos
0 = \frac{6}{7} + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac{6}{7}.

Passo 6

Substituindo C na solução geral, obtemos
x(t) = \frac{6}{7}e^{2t} - \frac{6}{7}e^{-t/3} = \frac{6}{7}\bigl(e^{2t} - e^{-t/3}\bigr).

Resposta

x(t) = \displaystyle \frac{6}{7}\bigl(e^{2t} - e^{-t/3}\bigr).

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