12.6 Sem utilizar frações parciais, encontre a transformada de Laplace inversa
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s\left(s^{2}+4\right)}\right\}
12.7 Usando, obrigatoriamente, transformada de Laplace, resolva o problema de valor inicial
x^{\prime \prime}+4 x^{\prime}+3 x=\mathrm{e}^{-3 t}, \quad x(0)=0, \quad x^{\prime}(0)=0 .

Passo 1

O exercício 12.6 pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{1}{s\,(s^{2}+4)}
sem usar frações parciais, então vamos usar o Teorema da Convolução.
O exercício 12.7 é um problema de valor inicial
x''+4x'+3x=e^{-3t},\quad x(0)=0,\;x'(0)=0,
e exige resolver por transformada de Laplace, usando as propriedades de derivada e, depois, frações parciais para inverter.

Passo 2

Para 12.6, note que
F(s)=\frac{1}{s}\;\cdot\;\frac{1}{s^{2}+4}
é o produto de
F_{1}(s)=\frac{1}{s},\quad F_{2}(s)=\frac{1}{s^{2}+4}.
Pelo Teorema da Convolução, a inversa é
f(t)=(f_{1}\ast f_{2})(t) =\int_{0}^{t}f_{1}(\tau)\,f_{2}(t-\tau)\,d\tau.
Sabemos que
f_{1}(t)=1,\quad f_{2}(t)=\tfrac{1}{2}\sin(2t).

Passo 3

Calculando a convolução:
f(t) =\int_{0}^{t}1\;\cdot\;\frac{1}{2}\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,d\tau =\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\sin\bigl(2u\bigr)\,du \quad(u=t-\tau).
Como
\int_{0}^{t}\sin(2u)\,du =\Bigl[-\tfrac{1}{2}\cos(2u)\Bigr]_{0}^{t} =\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(2t)\bigr),
vem
f(t)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\bigl(1-\cos(2t)\bigr) =\frac{1-\cos(2t)}{4}.

Passo 4

Para 12.7, aplicamos a transformada de Laplace na EDO. Seja X(s)=\mathscr{L}\{x(t)\}. Então
\mathscr{L}\{x''\} = s^{2}X(s)-s\,x(0)-x'(0)=s^{2}X(s),
\mathscr{L}\{x'\} = s\,X(s)-x(0)=s\,X(s),
\mathscr{L}\{e^{-3t}\} = \frac{1}{s+3}.
A equação em s fica
\bigl(s^{2}+4s+3\bigr)X(s)=\frac{1}{s+3},
logo
X(s)=\frac{1}{(s+3)\,(s^{2}+4s+3)} =\frac{1}{(s+3)^{2}(s+1)}.

Passo 5

Fazemos frações parciais:
\frac{1}{(s+1)(s+3)^{2}} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}+\frac{C}{(s+3)^{2}}.
Calculando A=1/4, B=-1/4, C=-1/2, obtemos
X(s)=\frac{1/4}{s+1}-\frac{1/4}{s+3}-\frac{1/2}{(s+3)^{2}}.
Invertendo cada termo:
x(t)=\frac{1}{4}e^{-t}-\frac{1}{4}e^{-3t}-\frac{1}{2}\,t\,e^{-3t}.

Resposta

12.6 \displaystyle \mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s\,(s^{2}+4)}\Bigr\} =\frac{1-\cos(2t)}{4}.
12.7 x(t)=\frac{1}{4}e^{-t}-\frac{1}{4}e^{-3t}-\frac{1}{2}\,t\,e^{-3t}.

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