16- Divida o número 981 em partes diretamente proporcionais a 2,6 e 3 e inversamente proporcionais a 5,9 e 4 , respectivamente.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados ele nos dá. Precisamos dividir o número 981 em três partes, digamos x_1,\;x_2,\;x_3, tais que:
  • x_1 é diretamente proporcional a 2 e inversamente proporcional a 5 (ou seja, usa o par 2 e 5);
  • x_2 é diretamente proporcional a 6 e inversamente proporcional a 9 (usa o par 6 e 9);
  • x_3 é diretamente proporcional a 3 e inversamente proporcional a 4 (usa o par 3 e 4).
O que nos foi pedido: encontrar os valores de x_1,\;x_2,\;x_3 que somados dão 981 e satisfazem as proporcionalidades indicadas.

Passo 2

Explicando o conceito que vamos usar (de forma bem direta):
  • Se uma quantidade x é diretamente proporcional a a, isso significa que x = k\cdot a para alguma constante k.
  • Se x é inversamente proporcional a b, isso significa que x = k'\cdot \dfrac{1}{b} para alguma constante k'.
    Se ao mesmo tempo x é diretamente proporcional a a e inversamente proporcional a b, juntamos as duas condições: isso significa que existe uma constante comum k tal que
x = k\cdot \frac{a}{b}.
Ou seja, cada parte será da forma k vezes o quociente entre o fator direto e o fator inverso.

Passo 3

Aplicando a fórmula para cada parte temos
x_1 = k\cdot \frac{2}{5},\qquad x_2 = k\cdot \frac{6}{9},\qquad x_3 = k\cdot \frac{3}{4},
onde k é a mesma constante para as três partes (porque as proporcionalidades são “respectivamente” dadas).

Passo 4

Como as três partes somam 981, escrevemos a equação
k\left(\frac{2}{5}+\frac{6}{9}+\frac{3}{4}\right)=981.
Antes de resolver, simplifico a fração \dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}. Agora temos que somar as frações \dfrac{2}{5},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{4}.

Passo 5

Vamos somar as frações passo a passo. Escolho o mínimo múltiplo comum dos denominadores 5,3,4, que é 60. Converto cada fração para denominador 60:
\frac{2}{5}=\frac{24}{60},\qquad \frac{2}{3}=\frac{40}{60},\qquad \frac{3}{4}=\frac{45}{60}.
Somando:
\frac{24}{60}+\frac{40}{60}+\frac{45}{60}=\frac{24+40+45}{60}=\frac{109}{60}.
Portanto a equação do passo anterior fica
k\cdot \frac{109}{60}=981.

Passo 6

Isolando k:
k = 981\cdot\frac{60}{109}.
Agora note uma simplificação muito conveniente: 109\cdot 9 = 981. Logo
\frac{981}{109}=9,
então
k = 9\cdot 60 = 540.

Passo 7

Agora calculo cada parte usando k=540. Faço as contas de maneira simples, simplificando antes de multiplicar quando possível.
Para x_1:
x_1 = 540\cdot\frac{2}{5}.
Divido 540 por 5: 540\div5=108. Então x_1=108\cdot2=216.
Para x_2:
x_2 = 540\cdot\frac{6}{9}.
Simplifico \dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}. Então x_2=540\cdot\dfrac{2}{3}. Divido 540 por 3: 540\div3=180. Então x_2=180\cdot2=360.
Para x_3:
x_3 = 540\cdot\frac{3}{4}.
Divido 540 por 4: 540\div4=135. Então x_3=135\cdot3=405.

Passo 8

Verificação rápida: 216+360+405=576+405=981. Confere com o total pedido, então as partes estão corretas.

Resposta

216
360
405

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