16- Divida o número 981 em partes diretamente proporcionais a 2,6 e 3 e inversamente proporcionais a 5,9 e 4 , respectivamente.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados ele nos dá. Precisamos dividir o número
em três partes, digamos
, tais que:
-
é diretamente proporcional a e inversamente proporcional a (ou seja, usa o par e ); -
é diretamente proporcional a e inversamente proporcional a (usa o par e ); -
é diretamente proporcional a e inversamente proporcional a (usa o par e ).
O que nos foi pedido: encontrar os valores de
que somados dão
e satisfazem as proporcionalidades indicadas.
Passo 2
Explicando o conceito que vamos usar (de forma bem direta):
- Se uma quantidade
é diretamente proporcional a , isso significa que para alguma constante . - Se
é inversamente proporcional a , isso significa que para alguma constante .
Se ao mesmo tempoé diretamente proporcional a e inversamente proporcional a , juntamos as duas condições: isso significa que existe uma constante comum tal que
Ou seja, cada parte será da forma
vezes o quociente entre o fator direto e o fator inverso.
Passo 3
Aplicando a fórmula para cada parte temos
onde
é a mesma constante para as três partes (porque as proporcionalidades são “respectivamente” dadas).
Passo 4
Como as três partes somam
, escrevemos a equação
Antes de resolver, simplifico a fração
. Agora temos que somar as frações
.
Passo 5
Vamos somar as frações passo a passo. Escolho o mínimo múltiplo comum dos denominadores
, que é
. Converto cada fração para denominador
:
Somando:
Portanto a equação do passo anterior fica
Passo 6
Isolando
:
Agora note uma simplificação muito conveniente:
. Logo
então
Passo 7
Agora calculo cada parte usando
. Faço as contas de maneira simples, simplificando antes de multiplicar quando possível.
Para
:
Divido
por
:
. Então
.
Para
:
Simplifico
. Então
. Divido
por
:
. Então
.
Para
:
Divido
por
:
. Então
.
Passo 8
Verificação rápida:
. Confere com o total pedido, então as partes estão corretas.