(1.38) Uma parede trocadora de calor é composta por uma placa de cobre com espessura de 20 mm . Os coeficientes de transferência de calor dos dois lados da placa são de 2.700 e 7.000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, correspondendo às temperaturas de fluidos de 92^{\circ} \mathrm{C} e 32^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Supondo que a condutividade térmica da parede seja de 375 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, (a) calcule as temperaturas da superfície em { }^{\circ} \mathrm{C}; (b) calcule o fluxo de calor em W/m².

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) calcular as temperaturas das superfícies da placa (as duas faces), em ^\circ\mathrm{C};
  • (b) calcular o fluxo de calor por unidade de área (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2) através da parede.
As informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
  • Temperatura do fluido do lado quente: T_{f1}=92^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do fluido do lado frio: T_{f2}=32^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção no lado quente: h_1=2700\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}.
  • Coeficiente de convecção no lado frio: h_2=7000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}.
  • Espessura da placa: L=20\\ \mathrm{mm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do cobre: k=375\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\mathrm{K}.

Passo 2

Ideia física e fórmula que vamos usar (a “aulinha rápida”):
  • O calor atravessa primeiro o filme convectivo do fluido quente até a superfície quente da placa, depois atravessa a placa por condução e por fim atravessa o filme convectivo do lado frio até o fluido frio. Essas três etapas formam resistências térmicas em série, como num circuito elétrico.
  • Para convecção a resistência por unidade de área é R_\text{conv}=\dfrac{1}{h}. Aqui h é o coeficiente de transferência por convecção com unidades \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}; portanto R_\text{conv} tem unidade \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{W} (ou simplesmente K/(W/m^2) quando tratamos por unidade de área).
  • Para condução através de uma placa plana e homogênea a resistência por unidade de área é R_\text{cond}=\dfrac{L}{k}. Aqui L é a espessura (m) e k é a condutividade térmica ( \mathrm{W}/\mathrm{m}\mathrm{K}).
  • O fluxo de calor por unidade de área (chamado também densidade de fluxo térmico) é dado por uma lei análoga à lei de Ohm:
q''=\frac{T_{f1}-T_{f2}}{R_\text{total}}
onde
R_\text{total}=\frac{1}{h_1}+\frac{L}{k}+\frac{1}{h_2}.
  • As temperaturas das superfícies (face quente T_{s1} e face fria T_{s2}) obtêm-se subtraindo/escalando as quedas de temperatura nas resistências convectivas:
T_{s1}=T_{f1}-\frac{q''}{h_1}, \qquad T_{s2}=T_{f2}+\frac{q''}{h_2}.
(Nas expressões, cada termo de forma clara: q'' é o fluxo térmico em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2; divisão por h dá uma queda de temperatura em K.)

Passo 3

Calcular cada resistência numérica (vou mostrar as contas passo a passo e explicar cada número):
  • Resistência convectiva do lado quente:
\frac{1}{h_1}=\frac{1}{2700} \\ \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{W}=0{,}00037037037037037037\\ \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{W}.
  • Resistência de condução na placa:
\frac{L}{k}=\frac{0{,}02}{375} \\ \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{W}=0{,}00005333333333333333\\ \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{W}.
  • Resistência convectiva do lado frio:
\frac{1}{h_2}=\frac{1}{7000} \\ \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{W}=0{,}00014285714285714285\\ \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{W}.
  • Soma das resistências (resistência total por unidade de área):
R_\text{total}=0{,}00037037037037037037+0{,}00005333333333333333+0{,}00014285714285714285 =0{,}00056656084656084655\\ \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{W}.
Explicação rápida: as resistências convectivas são maiores que a resistência de condução (note como 1/h_1 e 1/h_2 são da ordem de 10^{-4}), o que indica que a troca convectiva nas superfícies é importante aqui.

Passo 4

Calcular o fluxo de calor por unidade de área usando a diferença de temperatura total T_{f1}-T_{f2}:
T_{f1}-T_{f2}=92^\circ\mathrm{C}-32^\circ\mathrm{C}=60\\ \mathrm{K}.
Agora
q''=\frac{60}{0{,}00056656084656084655}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 \approx 105{,}902\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Interpretação: o fluxo é aproximadamente 1,06\times10^{5}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2. Esse valor grande vem do fato de h_1 e h_2 também serem grandes (troca intensa), mas a diferença de temperatura de 60\\ \mathrm{K} gera esse fluxo elevado.

Passo 5

Calcular as temperaturas das superfícies usando as quedas de temperatura nas camadas convectivas:
  • Queda na camada convectiva do lado quente:
\Delta T_{\text{conv},1}=\frac{q''}{h_1}=\frac{105{,}902}{2700}\\ \mathrm{K}\approx 39{,}223\\ \mathrm{K}.
Logo a temperatura da superfície quente (face voltada para o fluido a 92^\circ\mathrm{C}) é
T_{s1}=T_{f1}-\Delta T_{\text{conv},1}=92^\circ\mathrm{C}-39{,}223^\circ\mathrm{C}\approx 52{,}777^\circ\mathrm{C}.
  • Queda na camada convectiva do lado frio:
\Delta T_{\text{conv},2}=\frac{q''}{h_2}=\frac{105{,}902}{7000}\\ \mathrm{K}\approx 15{,}129\\ \mathrm{K}.
Logo a temperatura da superfície fria é
T_{s2}=T_{f2}+\Delta T_{\text{conv},2}=32^\circ\mathrm{C}+15{,}129^\circ\mathrm{C}\approx 47{,}129^\circ\mathrm{C}.
Verificação rápida (controle): a queda de temperatura na placa por condução deve ser
T_{s1}-T_{s2}\approx 52{,}777-47{,}129=5{,}648^\circ\mathrm{C},
e também \dfrac{q''L}{k}=105{,}902\times\dfrac{0{,}02}{375}\approx5{,}643^\circ\mathrm{C}. As pequenas diferenças vêm de arredondamento; a ordem de grandeza e consistência estão corretas.

Resposta

T_{s1}\\ (\text{superfície voltada ao fluido quente}) \approx 52{,}78^\circ\mathrm{C}í
T_{s2}\\ (\text{superfície voltada ao fluido frio}) \approx 47{,}13^\circ\mathrm{C}í
q'' \approx 1{,}06\times10^{5}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2

Exercícios relacionados