12 Considere o conjunto A, cujos elementos são todos os números naturais de cinco algarismos distintos formados pelos algarismos 2,4,6,7 e 9 . Sorteando-se um elemento do conjunto A, calcule a probabilidade de obter:
a) um número maior que 40.000 .
b) um número maior que 40.000 e menor que 70.000 .

Passo 1

O enunciado gera o conjunto A formado por todos os números de cinco algarismos distintos usando exatamente os dígitos 2,4,6,7,9. O espaço amostral é, portanto, o conjunto de todas as permutações desses cinco dígitos, e a probabilidade de cada número é uniforme. Vamos usar o princípio fundamental da contagem para determinar o total de elementos e contar quantos satisfazem cada condição.

Passo 2

O total de números em A é o número de permutações de cinco dígitos distintos, isto é,
|A| = 5! = 120.

Passo 3

Para (a) queremos n>40000. Um número de cinco dígitos é maior que 40000 se o seu primeiro dígito for maior ou igual a 4. Como os dígitos disponíveis são \{2,4,6,7,9\}, os primeiros dígitos possíveis são \{4,6,7,9\}, ou seja, 4 escolhas. Para cada escolha do primeiro dígito, os outros 4 dígitos podem permutar-se em 4! maneiras. Logo, o total de casos favoráveis é
4 \times 4! = 4 \times 24 = 96,
e
P(n>40000) = \frac{96}{120} = \frac{4}{5}.

Passo 4

Para (b) queremos 40000<n<70000. Isso exige que o primeiro dígito seja 4 ou 6, pois qualquer outro primeiro dígito gera número fora do intervalo. São 2 escolhas para o primeiro dígito e, de novo, 4! permutações para os demais. Assim,
\text{casos favoráveis} = 2 \times 4! = 2 \times 24 = 48,á
e
P(40000<n<70000) = \frac{48}{120} = \frac{2}{5}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{4}{5}.
(b) \displaystyle \frac{2}{5}.

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