12 Considere o conjunto
, cujos elementos são todos os números naturais de cinco algarismos distintos formados pelos algarismos
e 9 . Sorteando-se um elemento do conjunto
, calcule a probabilidade de obter:
a) um número maior que 40.000 .
b) um número maior que 40.000 e menor que 70.000 .
a) um número maior que 40.000 .
b) um número maior que 40.000 e menor que 70.000 .
Passo 1
O enunciado gera o conjunto
formado por todos os números de cinco algarismos distintos usando exatamente os dígitos
. O espaço amostral é, portanto, o conjunto de todas as permutações desses cinco dígitos, e a probabilidade de cada número é uniforme. Vamos usar o princípio fundamental da contagem para determinar o total de elementos e contar quantos satisfazem cada condição.
Passo 2
O total de números em
é o número de permutações de cinco dígitos distintos, isto é,
Passo 3
Para (a) queremos
. Um número de cinco dígitos é maior que
se o seu primeiro dígito for maior ou igual a
. Como os dígitos disponíveis são
, os primeiros dígitos possíveis são
, ou seja, 4 escolhas. Para cada escolha do primeiro dígito, os outros 4 dígitos podem permutar-se em
maneiras. Logo, o total de casos favoráveis é
e
Passo 4
Para (b) queremos
. Isso exige que o primeiro dígito seja
ou
, pois qualquer outro primeiro dígito gera número fora do intervalo. São
escolhas para o primeiro dígito e, de novo,
permutações para os demais. Assim,
e
Resposta
(a)
(b)
(b)