Questão 1: (2.5 pontos)
Diga se as séries abaixo convergem
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt[3]{n{4}}}{\sqrt[4]{n{3}+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{\sqrt[3]{n^{4}}}{\sqrt[4]{n^{3}+1}}.
O conteúdo é teste de convergência de séries, e o que vamos usar é o critério do termo geral (necessário que a_n\to0).

Passo 2

Escrevemos o termo geral como
a_n = (-1)^{n}\,\frac{\sqrt[3]{n^{4}}}{\sqrt[4]{n^{3}+1}} = (-1)^{n}\,\frac{n^{4/3}}{(n^{3}+1)^{1/4}}.
Para séries infinitas só interessa o comportamento para n grande.

Passo 3

Para n\to\infty temos
(n^{3}+1)^{1/4} = n^{3/4}\bigl(1+\tfrac1{n^{3}}\bigr)^{1/4} \sim n^{3/4},
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\frac{n^{4/3}}{(n^{3}+1)^{1/4}} \sim n^{4/3 - 3/4} = n^{16/12 - 9/12} = n^{7/12}.
Assim \lvert a_n\rvert\sim n^{7/12}, que cresce para +\infty.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}a_n não é zero (na verdade \lvert a_n\rvert\to\infty), o critério do termo geral diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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