Questão 1: (2.5 pontos)
Diga se as séries abaixo convergem
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot \ln (n)}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,\ln(n)}{n^{2}}.
O conteúdo é convergência de séries alternadas e, em particular, veremos convergência absoluta.

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, consideramos a série dos módulos
\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^{2}}.
Aplicaremos o teste da integral para
\displaystyle f(x)=\frac{\ln(x)}{x^{2}},\;x\ge2.

Passo 3

Calculamos
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}\,dx.
Fazendo u=\ln(x) e dv=x^{-2}dx, obtemos
\int \frac{\ln(x)}{x^{2}}\,dx =-\frac{\ln(x)+1}{x}.
Então
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}\,dx =\lim_{R\to\infty}\Bigl[-\frac{\ln(x)+1}{x}\Bigr]_{2}^{R} =\frac{\ln(2)+1}{2}<\infty,
logo a série dos módulos converge.

Passo 4

Como \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^{2}} converge, a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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