Questão 1: (2.5 pontos)
Diga se as séries abaixo convergem
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot \ln (n)}{n^{2}}
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot \ln (n)}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado nos dá a série
.
O conteúdo é convergência de séries alternadas e, em particular, veremos convergência absoluta.
O conteúdo é convergência de séries alternadas e, em particular, veremos convergência absoluta.
Passo 2
Para testar a convergência absoluta, consideramos a série dos módulos
.
Aplicaremos o teste da integral para
.
Aplicaremos o teste da integral para
Passo 3
Calculamos
Fazendo
e
, obtemos
Então
logo a série dos módulos converge.
Passo 4
Como
converge, a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência.
Resposta
A série converge absolutamente e, portanto, converge.