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Considere as funções f, g: R -> R dadas por f(x) = 2x + a e g(x) = x^2 + b. Sendo (g o f)(x) = 4x^2 - 12x + 10, determine a e b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções:
E sabemos que a composição dessas funções, ou seja, , é igual a . Nosso objetivo é encontrar os valores de e .
Para isso, vamos precisar entender como funciona a composição de funções e como igualar os coeficientes para descobrir e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que a gente vai aplicar a função primeiro e depois a função no resultado. Matematicamente, fica assim:
Então, vamos substituir na função :

Passo 3

Agora, vamos expandir :
Então, substituindo de volta na expressão de :

Passo 4

Sabemos que . Então, igualamos as duas expressões:
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes:
  • Coeficiente de : (já está igualado)
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:

Passo 5

Vamos resolver para primeiro usando a segunda equação:
Agora que temos , vamos substituir esse valor na terceira equação para encontrar :

Resposta

Os valores são e .

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