Sejam
e
conjuntos e
uma função. Sejam também
e
. Mostre que:
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Passo 1
Aqui, a gente tem duas conjuntos
e
, e uma função
que liga elementos de
a elementos de
, ou seja,
. Também temos subconjuntos
e
de
, e
e
de
. A nossa missão é mostrar que:
Isso envolve conceitos de funções e imagens de conjuntos, que são parte da teoria dos conjuntos e funções em matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a imagem de um conjunto pela função
. Para qualquer subconjunto
de
, a imagem de
por
, denotada por
, é o conjunto de todos os valores que
assume quando aplicamos
a cada elemento de
. Em termos matemáticos:
Passo 3
-
Imagem de
: é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir quando aplicamos a função a qualquer elemento de . -
Imagem de
: é o conjunto de todos os valores que assume especificamente para os elementos que estão em .
A diferença
representa todos os valores que
assume em
mas não em
.
Passo 4
O conjunto
é composto por todos os elementos que estão em
mas não em
. Quando aplicamos
a
, ou seja,
, obtemos todos os valores que
assume nesses elementos excluindo os de
.
Passo 5
Queremos mostrar que:
Isso significa que qualquer valor que está em
mas não em
deve estar também em
.
-
Ponto-chave: Se um elemento
está em , então existe pelo menos um elemento em tal que e não está em . -
Consequência: Como
não está em , ele está em , e portanto está em .
Resposta
Portanto, demonstramos que: