Sejam X e Y conjuntos e f: X -> Y uma função. Sejam também A1, A2 subseteq X e B1, B2 ⊆ Y. Mostre que:
© f[X - A1] ⊇ f[X] - f[A1]

Passo 1

Aqui, a gente tem duas conjuntos e , e uma função que liga elementos de a elementos de , ou seja, . Também temos subconjuntos e de , e e de . A nossa missão é mostrar que:
Isso envolve conceitos de funções e imagens de conjuntos, que são parte da teoria dos conjuntos e funções em matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a imagem de um conjunto pela função . Para qualquer subconjunto de , a imagem de por , denotada por , é o conjunto de todos os valores que assume quando aplicamos a cada elemento de . Em termos matemáticos:

Passo 3

  • Imagem de : é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir quando aplicamos a função a qualquer elemento de .
  • Imagem de : é o conjunto de todos os valores que assume especificamente para os elementos que estão em .
A diferença representa todos os valores que assume em mas não em .

Passo 4

O conjunto é composto por todos os elementos que estão em mas não em . Quando aplicamos a , ou seja, , obtemos todos os valores que assume nesses elementos excluindo os de .

Passo 5

Queremos mostrar que:
Isso significa que qualquer valor que está em mas não em deve estar também em .
  • Ponto-chave: Se um elemento está em , então existe pelo menos um elemento em tal que e não está em .
  • Consequência: Como não está em , ele está em , e portanto está em .

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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