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Sejam f, g: R R as funções dadas por
f(x)=ll x^2-4 x+3 & se x >= 2 2 x-3 & se x<2 e g(x)=2 x+3
(a) Encontre uma expressão analítica para a composta f circ g.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma expressão analítica para a composta das funções e , ou seja, . Estamos lidando com funções definidas por partes, então vamos precisar entender como compor essas funções passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que vamos calcular , ou seja, aplicar a função primeiro e depois aplicar a função no resultado de .

Passo 3

Vamos analisar a função g(x) = 2x + 3 . Ela está bem simples:
Isso significa que, para qualquer valor de , será igual a duas vezes mais três.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a função f(x) = x^2 - 4x + 3 & se x >= 2 2x - 3 & se x < 2 . Ela é uma função definida por partes:
Então, dependendo do valor de , a fórmula que usamos para muda.

Passo 5

Como queremos f(g(x)) = f(2x + 3) , vamos substituir na função . Ou seja:
Agora, precisamos determinar qual parte da definição de vai ser usada, ou seja, precisamos saber se é maior ou igual a 2, ou se é menor que 2.

Passo 6

Vamos resolver a inequação 2x + 3 >= 2 para encontrar quando usar a primeira parte de 2x >= -1 :
x >= -12
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Então, para , usamos a parte de .

Passo 7

Agora, vamos resolver a outra parte: quando 2x + 3 < 2 :
2x < -1
Subtraindo 3 de ambos os lados:
x < -12
Dividindo por 2:
Então, para , usamos a parte de .

Passo 8

Agora que sabemos quais fórmulas usar em cada intervalo, podemos escrever f circ g (x) = (2x + 3)^2 - 4(2x + 3) + 3 & se x >= -12 2(2x + 3) - 3 & se x < -12 como uma função por partes:

Passo 9

Vamos simplificar cada parte agora.
Para (2x + 3)^2 - 4(2x + 3) + 3 :
= 4x^2 + 12x + 9
Primeiro, calculamos = 4x^2 + 12x + 9 - 8x - 12 :
= 4x^2 + 4x
Agora, subtraímos 2(2x + 3) - 3 :
= 4x + 6 - 3
E adicionamos 3:
= 4x + 3
Para :
Multiplicamos:
Simplificando:

Passo 10

Então, juntando tudo, a expressão analítica para f circ g (x) = 4x^2 + 4x & se x >= -12 4x + 3 & se x < -12 fica:

Resposta

A composta f circ g (x) = 4x^2 + 4x & se x >= -12 4x + 3 & se x < -12 é dada por:

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