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Sejam
as funções dadas por
(a) Encontre uma expressão analítica para a composta
.
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma expressão analítica para a composta das funções
e
, ou seja,
. Estamos lidando com funções definidas por partes, então vamos precisar entender como compor essas funções passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que vamos calcular
, ou seja, aplicar a função
primeiro e depois aplicar a função
no resultado de
.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Ela está bem simples:
Isso significa que, para qualquer valor de
,
será igual a duas vezes
mais três.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a função
. Ela é uma função definida por partes:
Então, dependendo do valor de
, a fórmula que usamos para
muda.
Passo 5
Como queremos
, vamos substituir
na função
. Ou seja:
Agora, precisamos determinar qual parte da definição de
vai ser usada, ou seja, precisamos saber se
é maior ou igual a 2, ou se é menor que 2.
Passo 6
Vamos resolver a inequação
para encontrar quando usar a primeira parte de
:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Então, para
, usamos a parte
de
.
Passo 7
Agora, vamos resolver a outra parte: quando
:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Então, para
, usamos a parte
de
.
Passo 8
Agora que sabemos quais fórmulas usar em cada intervalo, podemos escrever
como uma função por partes:
Passo 9
Vamos simplificar cada parte agora.
Para
:
Primeiro, calculamos
:
Agora, subtraímos
:
E adicionamos 3:
Para
:
Multiplicamos:
Simplificando:
Passo 10
Então, juntando tudo, a expressão analítica para
fica:
Resposta
A composta
é dada por: