Uma mola está presa verticalmente por uma extremidade. Um corpo de massa m , preso à outra extremidade, está animado de uma velocidade
quando a mola está sem deformação alguma. Achar a velocidade
em função da deformação
da mola sabendo que
onde k é a constante de mola e g é a aceleração da gravidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física envolvendo uma mola presa verticalmente com uma massa
na ponta. Quando a mola não está deformada, a massa está se movendo com uma velocidade inicial
. Queremos descobrir qual é a velocidade
da massa em função da deformação
da mola. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica e cinemática, além de algumas equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
Aqui,
é a massa,
é a velocidade,
é a aceleração da gravidade,
é a constante da mola, e
é a deformação da mola. Essa equação relaciona a mudança na velocidade com a deformação da mola.
Passo 3
O objetivo é achar
em função de
, ou seja,
. Para isso, vamos reorganizar a equação para facilitar a integração. Primeiro, vamos dividir os dois lados por
:
Passo 4
Agora, vamos perceber que
pode ser escrito como
. Isso porque a derivada de
em relação a
é
, então multiplicando por
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação com respeito a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar a constante
, vamos usar a condição inicial fornecida: quando
, a velocidade é
. Substituindo esses valores na equação:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na equação:
Passo 8
Vamos multiplicar todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 9
Por fim, isolamos
tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A velocidade
em função da deformação
da mola é: