Uma mola está presa verticalmente por uma extremidade. Um corpo de massa m , preso à outra extremidade, está animado de uma velocidade v0 quando a mola está sem deformação alguma. Achar a velocidade v em função da deformação x da mola sabendo que
m v (dv/dx) = m g - k x
onde k é a constante de mola e g é a aceleração da gravidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física envolvendo uma mola presa verticalmente com uma massa na ponta. Quando a mola não está deformada, a massa está se movendo com uma velocidade inicial . Queremos descobrir qual é a velocidade da massa em função da deformação da mola. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica e cinemática, além de algumas equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
Aqui, é a massa, é a velocidade, é a aceleração da gravidade, é a constante da mola, e é a deformação da mola. Essa equação relaciona a mudança na velocidade com a deformação da mola.

Passo 3

O objetivo é achar em função de , ou seja, . Para isso, vamos reorganizar a equação para facilitar a integração. Primeiro, vamos dividir os dois lados por :

Passo 4

Agora, vamos perceber que pode ser escrito como . Isso porque a derivada de em relação a é , então multiplicando por :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação com respeito a :
Isso simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar a constante , vamos usar a condição inicial fornecida: quando , a velocidade é . Substituindo esses valores na equação:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação:

Passo 8

Vamos multiplicar todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 9

Por fim, isolamos tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A velocidade em função da deformação da mola é:

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