Sejam X e Y conjuntos e f: X -> Y uma função. Sejam também A ⊆ X e B ⊆ Y.
(b) Mostre que se f é injetora, então A = f^(-1)[f(A)].

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos dois conjuntos e e uma função . Também temos subconjuntos e . A questão (part b) nos pede para mostrar que se a função é injetora, então .
Aqui, vamos usar conceitos de funções injetoras e a noção de imagem e pré-imagem de conjuntos através de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa a imagem do conjunto através da função , ou seja, todos os elementos em que são alcançados pela função a partir de elementos de :

Passo 3

Agora, vamos analisar . Isso significa a pré-imagem de através de , ou seja, todos os elementos em que são mapeados pela função para algum elemento em :

Passo 4

Queremos mostrar que quando é injetora. Para isso, precisamos provar duas inclusões:

Passo 5

Primeira inclusão: .
Tome qualquer elemento . Então, por definição de imagem. Portanto, . Isso mostra que todo elemento de está em .

Passo 6

Segunda inclusão: .
Aqui, assumimos que é injetora. Tome qualquer . Isso significa que , ou seja, existe algum tal que .
Como é injetora, implica . Mas , então . Assim, todo elemento de está em .

Resposta

Portanto, mostramos que se a função é injetora, então .

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