Sejam
e
conjuntos e
uma função. Sejam também
e
.
(b) Mostre que se
é injetora, então
.
(b) Mostre que se
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos dois conjuntos
e
e uma função
. Também temos subconjuntos
e
. A questão (part b) nos pede para mostrar que se a função
é injetora, então
.
Aqui, vamos usar conceitos de funções injetoras e a noção de imagem e pré-imagem de conjuntos através de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso representa a imagem do conjunto
através da função
, ou seja, todos os elementos em
que são alcançados pela função
a partir de elementos de
:
Passo 3
Agora, vamos analisar
. Isso significa a pré-imagem de
através de
, ou seja, todos os elementos em
que são mapeados pela função
para algum elemento em
:
Passo 4
Queremos mostrar que
quando
é injetora. Para isso, precisamos provar duas inclusões:
Passo 5
Primeira inclusão:
.
Tome qualquer elemento
. Então,
por definição de imagem. Portanto,
. Isso mostra que todo elemento de
está em
.
Passo 6
Segunda inclusão:
.
Aqui, assumimos que
é injetora. Tome qualquer
. Isso significa que
, ou seja, existe algum
tal que
.
Como
é injetora,
implica
. Mas
, então
. Assim, todo elemento de
está em
.
Resposta
Portanto, mostramos que se a função
é injetora, então
.