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Considere em R^3 o produto interno definido por
lang<=(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)rang<==(lll x1 & x2 & x3 ) cdot(lll 1 & 1 & 0 1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 ) cdot(l y1 y2 y3 )
a) Calcule |x|, para um qualquer vetor x=(x1, x2, x3) in R^3;

Passo 1

O enunciado define um produto interno em R^3 por
lang<= x,yrang<= = x^T M y com M = 1 & 1 & 0 1 & 2 & 0 0 & 0 & 1
Queremos calcular a norma induzida, que é dada por |x| = raizlang<= x,xrang<=.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a matriz ao vetor . Temos
x_1 + 2x_2 \[3pt] x_3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Em seguida, calculamos
lang<= x,xrang<= = x^T (M x) = (x1, x2, x3)cdot (x1 + x2,;x1 + 2x2,;x3)
Isso dá
lang<= x,xrang<= = x1(x1 + x2) + x2(x1 + 2x2) + x3^2 = x1^2 + 2x1x2 + 2x2^2 + x3^2

Passo 4

Finalmente, pela definição de norma,
|x| = raizlang<= x,xrang<= = raizx1^2 + 2x1x2 + 2x2^2 + x3^2

Resposta

|x| = raizx1^2 + 2x1x2 + 2x2^2 + x3^2

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