Em R^4, considere o produto interno canônico e a norma euclidiana definida por ele. Para u=(-3,1,2,-1) e v=(4,0,-8,0), verifique que valem as seguintes desigualdades:
(b) |u+v| <=|u|+|v| (desigualdade triangular)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a desigualdade triangular
|u+v|<=|u|+|v|
no espaço R^4 com o produto interno canônico e a norma euclidiana. Para isso, vamos usar a definição de soma de vetores e de norma:
u+v=(u1+v1,u2+v2,u3+v3,u4+v4), |x|=raizlang<= x,xrang<==raizsumi=1^4xi^2

Passo 2

Calculemos primeiro u+v.
Como u=(-3,1,2,-1) e v=(4,0,-8,0), temos
u+v = (-3+4,;1+0,;2-8,;-1+0) = (1,1,-6,-1)

Passo 3

Agora a norma de u+v:
|u+v| = raiz1^2+1^2+(-6)^2+(-1)^2 = raiz1+1+36+1 = raiz39

Passo 4

Em seguida, as normas de u e v:
|u| = raiz(-3)^2+1^2+2^2+(-1)^2 = raiz9+1+4+1 = raiz15,
|v| = raiz4^2+0^2+(-8)^2+0^2 = raiz16+0+64+0 = raiz80

Passo 5

Comparemos os dois lados da desigualdade:
|u+v| = raiz39, |u|+|v| = raiz15 + raiz80
Numericamente,
raiz39approx6,245 e raiz15+raiz80approx3,873+8,944=12,817,
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raiz39<=raiz15+raiz80

Resposta

|u+v|=raiz39<=raiz15+raiz80=|u|+|v|, portanto a desigualdade triangular se verifica.

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