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Considere o seguinte conjunto de vetores:
v1=(1,-2,3,-4), v2=(2,1,-4,-3), v3=(-3,4,1,-2) e v4=(4,3,2,1)
(a) Mostre que v1, v2, v3, v4 é uma base ortogonal de R^4.

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^4:
v1=(1,-2,3,-4), v2=(2,1,-4,-3), v3=(-3,4,1,-2), v4=(4,3,2,1),
e pede para mostrar que v1,v2,v3,v4 é uma base ortogonal de R^4.
Conteúdo: produto escalar em R^4, ortogonalidade e consequência de que um conjunto ortogonal não-nulo com 4 vetores em R^4 é base.

Passo 2

Calculamos os produtos escalares entre v1 e os outros vetores:
v1cdot v2 =1cdot2 + (-2)cdot1 + 3cdot(-4) + (-4)cdot(-3) =2 -2 -12 +12 =0,
v1cdot v3 =1cdot(-3) + (-2)cdot4 + 3cdot1 + (-4)cdot(-2) =-3 -8 +3 +8 =0,
v1cdot v4 =1cdot4 + (-2)cdot3 + 3cdot2 + (-4)cdot1 =4 -6 +6 -4 =0

Passo 3

Agora os produtos escalares entre v2,v3,v4:
v2cdot v3 =2cdot(-3) + 1cdot4 + (-4)cdot1 + (-3)cdot(-2) =-6 +4 -4 +6 =0,
v2cdot v4 =2cdot4 + 1cdot3 + (-4)cdot2 + (-3)cdot1 =8 +3 -8 -3 =0,
v3cdot v4 =(-3)cdot4 + 4cdot3 + 1cdot2 + (-2)cdot1 =-12 +12 +2 -2 =0

Passo 4

Verificamos que todos os produtos escalares distintos são zero, logo o conjunto é ortogonal. Além disso, cada vineq 0, então temos 4 vetores ortogonais não-nulos em R^4; tal conjunto é necessariamente linearmente independente e, por ter 4 vetores em R^4, forma uma base.

Resposta

Portanto v1,v2,v3,v4 é uma base ortogonal de R^4.

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