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Considere o seguinte conjunto de vetores:
(a) Mostre que
é uma base ortogonal de
.
Considere o seguinte conjunto de vetores:
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores em
:
e pede para mostrar que
é uma base ortogonal de
.
Conteúdo: produto escalar em , ortogonalidade e consequência de que um conjunto ortogonal não-nulo com
vetores em
é base.
Conteúdo: produto escalar em
Passo 2
Calculamos os produtos escalares entre
e os outros vetores:
Passo 3
Agora os produtos escalares entre
:
Passo 4
Verificamos que todos os produtos escalares distintos são zero, logo o conjunto é ortogonal. Além disso, cada
, então temos
vetores ortogonais não-nulos em
; tal conjunto é necessariamente linearmente independente e, por ter
vetores em
, forma uma base.
Resposta
Portanto
é uma base ortogonal de
.