Em R^2, considere o produto interno canônico. Determine se os seguintes conjuntos são ortogonais, ortonormais ou linearmente independentes.
(a) (1,0),(-1,1)

Passo 1

O enunciado pede, em R^2 com o produto interno canônico, verificar para o conjunto
(1,0),,(-1,1)
se ele é ortogonal, ortonormal ou apenas linearmente independente. Vamos usar definição de produto interno, norma e dependência linear em R^2.

Passo 2

Para ser ortogonal, precisamos que o produto interno de (1,0) com (-1,1) seja zero. Calculamos
(1,0)cdot(-1,1)=1cdot(-1)+0cdot1=-1neq0
Logo, o conjunto não é ortogonal.

Passo 3

Para ser ortonormal, além de ser ortogonal, cada vetor deve ter norma igual a 1. Já vimos que não é ortogonal, mas calculemos as normas:
|(1,0)|=raiz1^2+0^2=1, |(-1,1)|=raiz(-1)^2+1^2=raiz2neq1
Portanto não é ortonormal.

Passo 4

Para ver se é linearmente independente, basta notar que um vetor não é múltiplo escalar do outro. Alternativamente, o determinante da matriz formada por esses vetores como colunas é
det1 & -10 & 1 =1cdot1 - 0cdot(-1)=1neq0
Determinante não nulo implica independência linear em R^2.

Resposta

O conjunto (1,0),(-1,1) não é ortogonal, não é ortonormal e é linearmente independente.

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