Em
, considere o produto interno canônico. Determine se os seguintes conjuntos são ortogonais, ortonormais ou linearmente independentes.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede, em
com o produto interno canônico, verificar para o conjunto
se ele é ortogonal, ortonormal ou apenas linearmente independente. Vamos usar definição de produto interno, norma e dependência linear em .
se ele é ortogonal, ortonormal ou apenas linearmente independente. Vamos usar definição de produto interno, norma e dependência linear em
Passo 2
Para ser ortogonal, precisamos que o produto interno de
com
seja zero. Calculamos
Logo, o conjunto não é ortogonal.
Passo 3
Para ser ortonormal, além de ser ortogonal, cada vetor deve ter norma igual a 1. Já vimos que não é ortogonal, mas calculemos as normas:
Portanto não é ortonormal.
Passo 4
Para ver se é linearmente independente, basta notar que um vetor não é múltiplo escalar do outro. Alternativamente, o determinante da matriz formada por esses vetores como colunas é
Determinante não nulo implica independência linear em
.
Resposta
O conjunto
não é ortogonal, não é ortonormal e é linearmente independente.