12 d yd x=raizy+1 cos x, y(pi)=0

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem
12,dydx = raizy+1,cos x
com condição inicial y(pi)=0. Isso é uma EDO separável: vamos separar y de x e integrar.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por dx e dividimos por raizy+1, obtendo
dy2raizy+1 = cos x,dx

Passo 3

Integramos os dois lados. No lado esquerdo usamos integral (y+1)^-1/2dy = 2raizy+1:
integral dy2raizy+1 = 12integral (y+1)^-1/2dy = raizy+1
No lado direito integral cos x,dx = sin x + C. Logo
raizy+1 = sin x + C

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(pi)=0, temos
raiz0+1 = sin(pi) + C Longrightarrow 1 = 0 + C Longrightarrow C = 1

Passo 5

Substituindo C=1 e elevando ao quadrado,
y+1 = (sin x + 1)^2 Longrightarrow y = (sin x + 1)^2 - 1

Resposta

y(x) = (sin x + 1)^2 - 1 = sin^2 x + 2sin x

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