5.II Num material não-magnético sem perdas \operatorname{com} \varepsilon_{\mathrm{r}}=16, \mathbf{H}=100 \cos (\omega t-10 y) \mathbf{a}_{z} \mathrm{~mA} / \mathrm{m}, determine a velocidade de propagação, a freqüência angular e a expressão instantânea para a intensidade de campo elétrico.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda plana em um meio dielétrico não magnético sem perdas, com \varepsilon_{r}=16 e \mu_{r}=1. O campo magnético é
\mathbf{H}(y,t)=100\cos\bigl(\omega t-10\,y\bigr)\,\mathbf{a}_{z}\\ \text{mA/m}.
Pede-se a velocidade de propagação v, a frequência angular \omega e a expressão instantânea do campo elétrico \mathbf{E}(y,t). Para isso vamos usar:
  1. A velocidade no dielétrico v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}.
  2. A relação entre constante de fase \beta e \omega: \beta = \omega/v.
  3. A impedância do meio \eta = \sqrt{\mu/\varepsilon} e a relação \mathbf{E}=\eta\,\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{H}.

Passo 2

Calcular v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}. Como \mu=\mu_{0} e \varepsilon=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}, e sabendo que c=1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}=3\times10^{8}\,\text{m/s}, temos
v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{r}}} = \frac{3\times10^{8}}{4} =7{,}5\times10^{7}\,\text{m/s}.

Passo 3

Identificamos no argumento de \cos que a constante de fase é \beta=10\,\text{rad/m}. Como \beta=\omega/v, segue
\omega = \beta\,v = 10\cdot7{,}5\times10^{7} =7{,}5\times10^{8}\,\text{rad/s}.

Passo 4

A impedância do meio é
\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} = \frac{\eta_{0}}{\sqrt{\varepsilon_{r}}} = \frac{120\pi}{4} =30\pi\\ \Omega.
Convertendo a amplitude de \mathbf{H} para A/m: H_{0}=100\\ \text{mA/m}=0{,}1\\ \text{A/m}. Logo a amplitude de \mathbf{E} é
E_{0}=\eta\,H_{0} =30\pi\cdot0{,}1 =3\pi\\ \text{V/m}.
Como a onda se propaga em +y \hat{\mathbf{k}}=\mathbf{a}_{y} e \mathbf{H} está em \mathbf{a}_{z}, temos
\mathbf{E}=\eta\,\mathbf{a}_{y}\times\mathbf{H} =3\pi\cos\bigl(\omega t-10\,y\bigr)\,\mathbf{a}_{x}\\ \text{V/m}.

Resposta

v = 7{,}5\times10^{7} m/s \omega =7{,}5\times10^{8} rad/s \displaystyle \mathbf{E}(y,t)=3\pi\cos\bigl(7{,}5\times10^{8}\,t-10\,y\bigr)\,\mathbf{a}_{x}\\ \text{V/m}

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