5.8 Suponha que no vácuo \mathbf{H}(x, t)=\operatorname{Ioocos}\left(2 \pi \times{ }_{10}{ }^{7} t-\beta z+\pi / 4\right) \mathbf{a}_{z} \mathrm{~mA} / \mathrm{m}. Encontre \mathbf{E}(x, t).

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético de uma onda plana no vácuo \displaystyle \mathbf{H}(x,t)=I_0\cos\bigl(2\pi\times10^{7}t-\beta x+\pi/4\bigr)\,\mathbf{a}_z\quad em mA/m.
Aqui o conteúdo é a relação entre os campos elétrico e magnético de uma onda no vácuo:
  • direção de propagação \mathbf{a}_k vem do sinal “ -\beta x”, ou seja, propagação em +x,
  • impedância intrínseca do vácuo \eta_0=\sqrt{\mu_0/\epsilon_0}\approx120\pi\;\Omega,
  • e a regra \displaystyle \mathbf{E}=\eta_0\,\mathbf{a}_k\times\mathbf{H}.

Passo 2

Converter unidades de \mathbf{H} para A/m. Como \mathbf{H} está em mA/m, basta dividir por 10^3:
\mathbf{H}(x,t)=\frac{I_0}{10^3}\cos\bigl(2\pi\times10^{7}t-\beta x+\pi/4\bigr)\,\mathbf{a}_z \quad\bigl[\text{A/m}\bigr].

Passo 3

Identificar a direção de propagação \mathbf{a}_k. O argumento da cosseno é
2\pi\times10^{7}t-\beta x+\frac\pi4,
logo a onda se propaga em +x e \mathbf{a}_k=\mathbf{a}_x.

Passo 4

Aplicar a relação entre \mathbf{E} e \mathbf{H}:
\mathbf{E}=\eta_0\,\mathbf{a}_k\times\mathbf{H} =\eta_0\bigl(\mathbf{a}_x\times\mathbf{H}\bigr).
Substituindo \mathbf{H}=H_z\,\mathbf{a}_z temos
\mathbf{a}_x\times\mathbf{a}_z =-\,\mathbf{a}_y,
portanto
\mathbf{E}(x,t) =\eta_0\;\frac{I_0}{10^3}\cos\bigl(2\pi\times10^{7}t-\beta x+\tfrac\pi4\bigr)\,(-\mathbf{a}_y).

Passo 5

Expressar o resultado final, identificando \eta_0\approx120\pi\\ \Omega:
\boxed{ \mathbf{E}(x,t) =-\,\eta_0\,\frac{I_0}{10^3} \cos\Bigl(2\pi\times10^{7}t-\beta x+\tfrac\pi4\Bigr)\,\mathbf{a}_y \quad\bigl[\mathrm{V/m}\bigr]. }

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(x,t) =-\,120\pi\,\frac{I_0}{10^3} \cos\!\bigl(2\pi\times10^{7}t-\beta x+\tfrac\pi4\bigr)\,\mathbf{a}_y \quad[\mathrm{V/m}].

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