12- Dados uma reta r e dois pontos A e B fora dela, determine um ponto de r que diste igualmente de A e B.

Passo 1

O enunciado dá uma reta r no plano e dois pontos A e B fora dela. Queremos encontrar um ponto X sobre r tal que
XA = XB
O conteúdo que vamos usar é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B, que é a mediatriz do segmento AB.

Passo 2

Primeiro construímos a mediatriz de AB. Seja
A=(xA,yA), B=(xB,yB)
O ponto médio M de AB tem coordenadas
M=l(tfracxA+xB2,,tfracyA+yB2r)
A mediatriz m é a reta perpendicular a AB que passa por M.

Passo 3

O ponto X procurado é a interseção de r com a mediatriz m. Basta resolver o sistema formado pela equação de r e pela equação de m. Esse X satisfaz simultaneamente
Xin r e Xin m,
o que garante XA=XB.

Resposta

O ponto buscado é
X ;=; r;cap;mediatriz(AB)
É único sempre que r não seja paralelo à mediatriz; caso contrário não existe ponto (ou existem infinitos se coincidirem).

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