Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base de P2 ?
a) 2 t^2+t-4, t^2-3 t+1
b) 1, t, t^2
c) 2,1-x, 1+x^2
d) 1+x+x^2, x+x^2, x^2

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais dos conjuntos dados formam base de P2, o espaço dos polinômios de grau <=2. Para isso vamos usar o conceito de base: um conjunto é base de P2 se e somente se tiver exatamente 3 polinômios (pois dim P2=3) e esses polinômios forem linearmente independentes (e portanto gerarem todo P2).

Passo 2

Como dim P2=3, qualquer base de P2 deve conter exatamente 3 vetores (polinômios). Se um conjunto tiver menos de 3 elementos, não pode gerar todo o espaço e não é base; se tiver 3, basta verificar a independência linear — tipicamente calculando o determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas dos polinômios na base canônica 1,t,t^2.

Passo 3

No item (a) há apenas 2 polinômios
2t^2+t-4, t^2-3t+1,
então não chegam a gerar todo P2. Logo (a) não é base.

Passo 4

No item (b) o conjunto é
1, t, t^2,
que é exatamente a base canônica de P2. Portanto (b) é base.

Passo 5

No item (c) temos os polinômios
p1=2, p2=1 - t, p3=1 + t^2
Suas coordenadas na base 1,t,t^2 formam a matriz
A = 2 & 1 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1
Como essa matriz é triangular e seus elementos diagonais são 2, -1 e 1,
det(A)=2cdot(-1)cdot1=-2neq0,
logo p1,p2,p3 são linearmente independentes e geram P2. Portanto (c) é base.

Passo 6

No item (d) os polinômios são
q1=1 + t + t^2, q2=t + t^2, q3=t^2
Na base 1,t,t^2 eles formam a matriz
B = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1
Também é triangular inferior com diagonais iguais a 1, 1 e 1, logo
det(B)=1cdot1cdot1=1neq0
Assim q1,q2,q3 são independentes e geradores de P2, e (d) é base.

Resposta

b), c) e d) formam base de P2.

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