Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base de ?
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais dos conjuntos dados formam base de , o espaço dos polinômios de grau . Para isso vamos usar o conceito de base: um conjunto é base de se e somente se tiver exatamente polinômios (pois ) e esses polinômios forem linearmente independentes (e portanto gerarem todo ).
Passo 2
Como , qualquer base de deve conter exatamente vetores (polinômios). Se um conjunto tiver menos de elementos, não pode gerar todo o espaço e não é base; se tiver , basta verificar a independência linear — tipicamente calculando o determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas dos polinômios na base canônica .
Passo 3
No item (a) há apenas polinômios
então não chegam a gerar todo . Logo (a) não é base.
Passo 4
No item (b) o conjunto é
que é exatamente a base canônica de . Portanto (b) é base.
Passo 5
No item (c) temos os polinômios
Suas coordenadas na base formam a matriz
Como essa matriz é triangular e seus elementos diagonais são 2, -1 e 1,
det(A)=2cdot(-1)cdot1=-2neq0,
logo p1,p2,p3 são linearmente independentes e geram P2. Portanto (c) é base.
Passo 6
No item (d) os polinômios são
q1=1 + t + t^2, q2=t + t^2, q3=t^2
Na base 1,t,t^2 eles formam a matriz
B = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1
Também é triangular inferior com diagonais iguais a 1, 1 e 1, logo
det(B)=1cdot1cdot1=1neq0
Assim q1,q2,q3 são independentes e geradores de P2, e (d) é base.