13- Dados uma reta r e dois pontos A e B no mesmo semiplano determinado por r, traçar por A e B retas que se intersectem a reta dada formando com ela ângulos congruentes.

Passo 1

Temos uma reta r e dois pontos A e B no mesmo semiplano determinado por r. Queremos traçar por A e por B retas que cortem r formando ângulos congruentes entre si. Para isso vamos usar a construção clássica de cópia de ângulo com régua e compasso, mais uma construção de paralela: dado o ângulo ang<=(s,r) em um vértice P, podemos copiá-lo em outro vértice B sobre uma reta t paralela a r, garantindo que o ângulo com r seja o mesmo.

Passo 2

Trace uma reta auxiliar s passando por A que intersecta r no ponto P. Essa reta s servirá como uma das semirretas que definem o ângulo de referência ang<=(s,r).

Passo 3

Construa a reta t paralela a r passando por B do seguinte modo: escolha um raio qualquer maior que a distância de B até r e com centro em B faça um arco que corte r em dois pontos U e V. Sem alterar esse raio, faça arcos com centros em U e em V; marque a interseção desses arcos em um ponto W. A reta BW é paralela a r; chame-a de t.

Passo 4

Com compasso, coloque seu raio em um valor arbitrário e, com centro em P, trace um arco que intercepte r em D e s em E.

Passo 5

Sem mudar o raio do compasso, trace com centro em B um arco que corte t em um ponto E'.

Passo 6

Meça com o compasso a distância DE e, mantendo essa abertura, trace um arco com centro em E'. Marque a interseção desse arco com o arco de passo 5 em F. Por fim, una B a F. A reta BF forma com t (e, logo, com r) um ângulo congruente a ang<=(s,r).

Resposta

As duas retas desejadas são
a) a reta s por A que corta r em P, e
b) a reta BF por B, construída por cópia de ângulo sobre a paralela t a r.

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