Importante: Para os próximos exercícios defina claramente o espaço de probabilidade!
13 - Problema do Pareamento
No final de um dia agitado, os pais chegam ao jardim de infância para pegar seus filhos. Cada pai escolhe uma criança para levar a casa uniformemente ao acaso. Use o fórmula de inclusão-exclusão para mostrar que a probabilidade de pelo menos um pai escolhe seu próprio filho é igual a
E que essa probabilidade converge a
/e quando
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que pelo menos um pai escolha o próprio filho num sorteio aleatório sem reposição entre n pais e n filhos. O conteúdo principal é o Princípio da Inclusão-Exclusão aplicado a permutações, e vamos precisar definir o espaço de probabilidade (todas as permutações de n elementos igualmente prováveis) e os eventos de interesse (cada pai acertar o próprio filho).
Passo 2
Definimos o espaço de probabilidade como
, o conjunto de todas as permutações de
. Cada permutação tem probabilidade uniforme
. Para cada
, definimos o evento
como "o pai
escolhe o filho
".
Passo 3
Para aplicar a inclusão-exclusão, precisamos de
. Se
pais fixam seus filhos, restam
pais para permutar livremente, logo há
permutações favoráveis. Assim
Passo 4
Pela fórmula de inclusão-exclusão, a probabilidade de pelo menos um acerto é
Passo 5
Como há
escolhas de
índices e cada interseção tem probabilidade
, obtemos
Passo 6
Para ver o limite quando
, lembramos que
Passo 7
logo
Resposta
A probabilidade é
e, quando
, converge para