Importante: Para os próximos exercícios defina claramente o espaço de probabilidade!
Qual é a probabilidade de que um ponto escolhido aleatoriamente no interior de um triângulo equilátero esteja mais perto do centro do que de suas bordas?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que um ponto escolhido uniformemente no interior de um triângulo equilátero fique mais próximo do centro (baricentro) do que das suas arestas. O conteúdo é geometria e probabilidade geométrica, e vamos precisar relacionar a distância ao centro com a distância à aresta mais próxima.
Passo 2
Para formalizar, tome um triângulo equilátero de lado 1 e centro em O. O espaço de probabilidade é o interior do triângulo com distribuição uniforme. Chame de r a distância de um ponto P a O, e de d a distância de P à aresta mais próxima.
Considere o raio L(θ) em direção a uma aresta qualquer. Esse raio atinge a aresta no ponto Q, de modo que OQ= L(θ). Se P está nesse raio a uma distância r de O, então a distância até a aresta é d = OQ – r = L(θ) – r.
Considere o raio L(θ) em direção a uma aresta qualquer. Esse raio atinge a aresta no ponto Q, de modo que OQ= L(θ). Se P está nesse raio a uma distância r de O, então a distância até a aresta é d = OQ – r = L(θ) – r.
Passo 3
Queremos r < d, ou seja r < L(θ) – r. Isolando r vem
Passo 4
Isso mostra que, em cada direção θ, apenas os pontos até metade da distância ao lado satisfazem a condição. Geometricamente, isso equivale a aplicar uma homotetia de razão 1/2 com centro em O ao triângulo original.
Uma homotetia de razão k no plano reduz as áreas em fator k². Aqui k = 1/2, então a região favorável tem área (1/2)² = 1/4 da área do triângulo original.
Uma homotetia de razão k no plano reduz as áreas em fator k². Aqui k = 1/2, então a região favorável tem área (1/2)² = 1/4 da área do triângulo original.
Passo 5
Como a escolha é uniforme no interior do triângulo, a probabilidade desejada é a razão entre as áreas: 1/4.