P1.12 Determine se os sinais a seguir são periódicos e, em caso positivo, determine seus períodos.
Passo 1
O enunciado dá o sinal discreto
O que se pede:
- Determinar se
é periódico (no sentido discreto, isto é, existe inteiro tal que para todo ). - Se for periódico, encontrar o período fundamental (menor
inteiro que satisfaz a condição).
Informações relevantes fornecidas:
- A frequência angular discreta é
. - O sinal é um cosseno sem deslocamento de fase extra além de
.
Passo 2
Conceito e condição de periodicidade (explicação didática):
- Para um sinal discreto
ser periódico existe um inteiro tal que
- Como o cosseno tem período
em seu argumento, a igualdade acima exige que o acréscimo no argumento seja um múltiplo inteiro de , ou seja
para algum
.
- Reescrevendo,
Isto mostra o ponto chave:
é periódico se, e somente se,
for um número racional. Se estiver na forma reduzida
(com inteiros coprimos
), então o período fundamental
é
.
- Exemplinho rápido para fixar: se
então e o período fundamental é (de fato ).
Passo 3
Aplicando a condição ao caso dado:
- Temos
. Calcular a razão
- Observação:
já está na forma irredutível porque . - Pela regra do passo anterior, quando
com coprimos, o período fundamental é . Aqui e , logo o período fundamental esperado é .
Passo 4
Verificação direta (opcional mas esclarecedor):
- A condição
dá, substituindo ,
- Para
ser inteiro, deve ser múltiplo de . O menor que funciona é , dando . Portanto não existe período inteiro menor que que satisfaça a condição — isto confirma que o período fundamental é . - Observação adicional: todos os períodos inteiros do sinal são múltiplos de
, isto é, com .
Resposta
Periódico. Período fundamental
.