P1.12 Determine se os sinais a seguir são periódicos e, em caso positivo, determine seus períodos.
\quad x[n]=\cos (7 \pi n / 15)

Passo 1

O enunciado dá o sinal discreto
x[n]=\cos\!\left(\tfrac{7\pi}{15}n\right).
O que se pede:
  • Determinar se x[n] é periódico (no sentido discreto, isto é, existe inteiro N>0 tal que x[n+N]=x[n] para todo n).
  • Se for periódico, encontrar o período fundamental (menor N>0 inteiro que satisfaz a condição).
Informações relevantes fornecidas:
  • A frequência angular discreta é \omega_0=\tfrac{7\pi}{15}.
  • O sinal é um cosseno sem deslocamento de fase extra além de \omega_0 n.

Passo 2

Conceito e condição de periodicidade (explicação didática):
  • Para um sinal discreto x[n]=\cos(\omega_0 n+\varphi) ser periódico existe um inteiro N>0 tal que
\cos(\omega_0 (n+N)+\varphi)=\cos(\omega_0 n+\varphi)\quad\text{para todo }n.
  • Como o cosseno tem período 2\pi em seu argumento, a igualdade acima exige que o acréscimo no argumento seja um múltiplo inteiro de 2\pi, ou seja
\omega_0 N = 2\pi k
para algum k\in\mathbb{Z}.
  • Reescrevendo,
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{k}{N}.
Isto mostra o ponto chave: x[n] é periódico se, e somente se, \dfrac{\omega_0}{2\pi} for um número racional. Se estiver na forma reduzida \dfrac{p}{q} (com inteiros coprimos p,q>0), então o período fundamental N_0 é q.
  • Exemplinho rápido para fixar: se \omega_0= \pi então \dfrac{\omega_0}{2\pi}=\tfrac{1}{2} e o período fundamental é 2 (de fato \cos(\pi(n+2))=\cos(\pi n)).

Passo 3

Aplicando a condição ao caso dado:
  • Temos \omega_0=\dfrac{7\pi}{15}. Calcular a razão
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{\tfrac{7\pi}{15}}{2\pi}=\frac{7}{30}.
  • Observação: \dfrac{7}{30} já está na forma irredutível porque \gcd(7,30)=1.
  • Pela regra do passo anterior, quando \dfrac{\omega_0}{2\pi}=\dfrac{p}{q} com p,q coprimos, o período fundamental é N_0=q. Aqui p=7 e q=30, logo o período fundamental esperado é N_0=30.

Passo 4

Verificação direta (opcional mas esclarecedor):
  • A condição \omega_0 N = 2\pi k dá, substituindo \omega_0,
\frac{7\pi}{15}N = 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad N=\frac{30k}{7}.
  • Para N ser inteiro, k deve ser múltiplo de 7. O menor k>0 que funciona é k=7, dando N=\dfrac{30\cdot7}{7}=30. Portanto não existe período inteiro menor que 30 que satisfaça a condição — isto confirma que o período fundamental é 30.
  • Observação adicional: todos os períodos inteiros do sinal são múltiplos de 30, isto é, N=m\cdot30 com m\in\mathbb{Z}_{>0}.

Resposta

Periódico. Período fundamental N_0=30.

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