Calcule os seguintes limites:
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(-2 x^{3}+4 x^{2}+1\right)=\

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a +\infty da expressão -2x^{3}+4x^{2}+1. As informações dadas são apenas essa expressão polinomial e o comportamento pedido quando x\to+\infty.

Passo 2

Para entender o comportamento quando x\to+\infty, é útil fatorar a maior potência de x presente (aqui é x^{3}). Escrevendo a expressão com x^{3} em evidência:
-2x^{3}+4x^{2}+1 = x^{3}\!\left(-2+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{3}}\right).

Passo 3

Agora vamos analisar o que ocorre com cada fator quando x\to+\infty. Primeiro, a parte dentro dos parênteses:
\lim_{x\to+\infty}\left(-2+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{3}}\right).
Como \dfrac{4}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{3}}\to 0 quando x\to+\infty, temos
\lim_{x\to+\infty}\left(-2+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{3}}\right) = -2.
Explicando bem: termos do tipo \dfrac{c}{x^{k}} com k>0 sempre tendem a 0 quando x\to+\infty.

Passo 4

O outro fator x^{3} tende a +\infty quando x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty} x^{3} = +\infty.

Passo 5

Temos, portanto, um produto onde um fator tende a uma constante negativa -2 e o outro tende a +\infty. Intuitivamente, isso leva a -\infty. Para dar uma justificativa simples e rigorosa: como a expressão dentro dos parênteses tende a -2, existe X_{0} tal que, para x>X_{0},
-2+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{3}} < -1.
Para esses x temos
x^{3}\!\left(-2+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{3}}\right) \le -x^{3}.
Como \lim_{x\to+\infty} -x^{3} = -\infty, pela desigualdade acima a nossa função também tende a -\infty.

Passo 6

Portanto o limite pedido é -\infty.

Resposta

-\infty

Exercícios relacionados