Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
As informações dadas são apenas o polinômio
e que
tende para
. A pergunta é: qual é o comportamento (valor limite) desse polinômio quando
fica muito, muito negativo?
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): em um polinômio, para
o termo de maior grau domina o comportamento. Isso porque os termos de grau menor ficam pequenos relativamente ao termo de grau maior quando
cresce muito. Uma forma prática e rigorosa de ver isso é fatorar a maior potência de
presente no polinômio e analisar os fatores resultantes.
Passo 3
Vamos fatorar a maior potência de
que aparece no polinômio. O grau máximo é
, então fatoramos
:
Passo 4
Analisamos agora o parêntese:
Quando
cada termo com divisão por potências de
tende a
. Ou seja,
portanto
Ou seja, para
muito negativo o parêntese fica próximo de
, um número positivo.
Passo 5
Agora olhamos para
. Como
é par,
é sempre não negativo e, quando
cresce,
cresce sem limite. Em particular,
Passo 6
Combinação dos resultados: temos um produto
, com
e
(uma constante positiva). Intuitivamente, produto de uma quantidade que vai para
por uma que tende para um número estritamente positivo também deve ir para
.
Se quiser uma justificativa breve e um pouco mais rígida: existe
tal que para todo
vale
(porque
). Para esses
temos
e como
, segue que
também cresce sem limite positivo quando
.