Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(3 x^{3}+2 x^{4}+5 x-1\right)=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(3x^{3}+2x^{4}+5x-1\right).
As informações dadas são apenas o polinômio \,3x^{3}+2x^{4}+5x-1 e que x tende para -\infty. A pergunta é: qual é o comportamento (valor limite) desse polinômio quando x fica muito, muito negativo?

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): em um polinômio, para x\to\pm\infty o termo de maior grau domina o comportamento. Isso porque os termos de grau menor ficam pequenos relativamente ao termo de grau maior quando |x| cresce muito. Uma forma prática e rigorosa de ver isso é fatorar a maior potência de x presente no polinômio e analisar os fatores resultantes.

Passo 3

Vamos fatorar a maior potência de x que aparece no polinômio. O grau máximo é 4, então fatoramos x^{4}:
3x^{3}+2x^{4}+5x-1 = x^{4}\!\left(2+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^{3}}-\frac{1}{x^{4}}\right).

Passo 4

Analisamos agora o parêntese:
\varphi(x):=2+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^{3}}-\frac{1}{x^{4}}.
Quando x\to -\infty cada termo com divisão por potências de x tende a 0. Ou seja,
\lim_{x\to -\infty}\frac{3}{x}=0,\qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{5}{x^{3}}=0,\qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{4}}=0,
portanto
\lim_{x\to -\infty}\varphi(x)=2.
Ou seja, para x muito negativo o parêntese fica próximo de 2, um número positivo.

Passo 5

Agora olhamos para x^{4}. Como 4 é par, x^{4} é sempre não negativo e, quando |x| cresce, x^{4} cresce sem limite. Em particular,
\lim_{x\to -\infty}x^{4}=+\infty.

Passo 6

Combinação dos resultados: temos um produto x^{4}\cdot\varphi(x), com x^{4}\to+\infty e \varphi(x)\to 2 (uma constante positiva). Intuitivamente, produto de uma quantidade que vai para +\infty por uma que tende para um número estritamente positivo também deve ir para +\infty.
Se quiser uma justificativa breve e um pouco mais rígida: existe M>0 tal que para todo x< -M vale \varphi(x)>\!1 (porque \varphi(x)\to2). Para esses x temos
3x^{3}+2x^{4}+5x-1 = x^{4}\varphi(x) > x^{4}\cdot 1 = x^{4},
e como \lim_{x\to -\infty}x^{4}=+\infty, segue que 3x^{3}+2x^{4}+5x-1 também cresce sem limite positivo quando x\to -\infty.

Resposta

+\infty

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