P1.12 Determine se os sinais a seguir são periódicos e, em caso positivo, determine seus períodos.
Passo 1
O enunciado dá a sequência discreta
e pede para determinar se essa sequência é periódica e, em caso afirmativo, determinar o(s) seu(s) período(s).
Informações fornecidas:
- A sequência é definida para todo inteiro
. - O argumento do seno é
(assume-se que o está em radianos por amostra).
O que é pedido:
- Decidir se existe um inteiro positivo
tal que para todo inteiro . - Se existir, fornecer o menor
(período fundamental).
Passo 2
Definição de periodicidade em tempo discreto (explicação didática).
Uma sequência é periódica se existir um inteiro positivo
tal que
Uma sequência
Aqui:
-
é chamado período (em número de amostras). - Procuramos o menor
inteiro que satisfaça essa igualdade para todos os .
Passo 3
Aplicando a definição ao caso geral
(aqui ensino o método que serve para muitos exercícios).
Suponha que exista inteiro tal que
Suponha que exista
Usando a identidade trigonométrica
temos
Rearranjando,
Para que essa identidade seja verdadeira para todo inteiro
, os coeficientes das funções independentes
e
devem ser ambos zero (caso contrário a soma não pode se anular para todo
). Portanto é necessário e suficiente:
A primeira condição implica
e junto com a segunda dá
Ou seja, a condição de periodicidade para a sequência senoidal discreta é:
Em palavras:
deve ser um número racional (razão entre inteiros), então existe
inteiro positivo que satisfaz a igualdade.
Passo 4
Aplicando ao caso específico
(ou seja,
).
A condição de periodicidade pede um inteiro e um inteiro
tais que
A condição de periodicidade pede um inteiro
Dividindo por
,
Para que
seja um inteiro, seria necessário que
fosse inteiro para algum inteiro
. Mas
é um número irracional (não pode ser escrito como razão de inteiros), então
nunca será um inteiro não nulo para
. O caso
dá
, que não serve (precisamos de
).
Portanto não existe
que satisfaça a condição, logo a sequência não é periódica.
Passo 5
Intuição e exemplo complementar (para fixar o conceito).
- Se o argumento angular
fosse tal que fosse racional, por exemplo , então
é racional e existe
tal que
. Nesse caso
é periódica de período
. Esse exemplo mostra o contraste: periodicidade depende de
ser racional.
- No nosso problema
é irracional, então sem chance de período inteiro.
Passo 6
Conclusão final: a sequência dada não é periódica porque não existe inteiro positivo
que satisfaça a condição de periodicidade (isso decorre do fato de
ser irracional e da condição
).
Resposta
A sequência
não é periódica.