P1.12 Determine se os sinais a seguir são periódicos e, em caso positivo, determine seus períodos.
\quad x[n]=\operatorname{sen}(2 n)

Passo 1

O enunciado dá a sequência discreta
x[n]=\operatorname{sen}(2n)
e pede para determinar se essa sequência é periódica e, em caso afirmativo, determinar o(s) seu(s) período(s).
Informações fornecidas:
  • A sequência é definida para todo inteiro n.
  • O argumento do seno é 2n (assume-se que o 2 está em radianos por amostra).
O que é pedido:
  • Decidir se existe um inteiro positivo N tal que x[n+N]=x[n] para todo inteiro n.
  • Se existir, fornecer o menor N>0 (período fundamental).

Passo 2

Definição de periodicidade em tempo discreto (explicação didática).
Uma sequência x[n] é periódica se existir um inteiro positivo N tal que
x[n+N]=x[n]\quad\text{para todo inteiro }n.
Aqui:
  • N é chamado período (em número de amostras).
  • Procuramos o menor N>0 inteiro que satisfaça essa igualdade para todos os n.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso geral x[n]=\operatorname{sen}(\omega_0 n) (aqui ensino o método que serve para muitos exercícios).
Suponha que exista N>0 inteiro tal que
\operatorname{sen}\big(\omega_0(n+N)\big)=\operatorname{sen}(\omega_0 n)\quad\text{para todo }n.
Usando a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}(A+B)=\operatorname{sen}A\cos B+\cos A\operatorname{sen}B,
temos
\operatorname{sen}(\omega_0 n)\cos(\omega_0 N)+\cos(\omega_0 n)\operatorname{sen}(\omega_0 N)=\operatorname{sen}(\omega_0 n).
Rearranjando,
\operatorname{sen}(\omega_0 n)\big(\cos(\omega_0 N)-1\big)+\cos(\omega_0 n)\operatorname{sen}(\omega_0 N)=0\quad\text{para todo }n.
Para que essa identidade seja verdadeira para todo inteiro n, os coeficientes das funções independentes \operatorname{sen}(\omega_0 n) e \cos(\omega_0 n) devem ser ambos zero (caso contrário a soma não pode se anular para todo n). Portanto é necessário e suficiente:
\cos(\omega_0 N)-1=0\quad\text{e}\quad\operatorname{sen}(\omega_0 N)=0.
A primeira condição implica \cos(\omega_0 N)=1 e junto com a segunda dá
\omega_0 N = 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Ou seja, a condição de periodicidade para a sequência senoidal discreta é:
\omega_0 N = 2\pi k\quad\text{com algum }k\in\mathbb{Z},\\ N\in\mathbb{Z}_{>0}.
Em palavras: \dfrac{\omega_0}{2\pi} deve ser um número racional (razão entre inteiros), então existe N inteiro positivo que satisfaz a igualdade.

Passo 4

Aplicando ao caso específico \omega_0=2 (ou seja, x[n]=\operatorname{sen}(2n)).
A condição de periodicidade pede um inteiro N>0 e um inteiro k tais que
2N = 2\pi k.
Dividindo por 2,
N = \pi k.
Para que N seja um inteiro, seria necessário que \pi k fosse inteiro para algum inteiro k. Mas \pi é um número irracional (não pode ser escrito como razão de inteiros), então \pi k nunca será um inteiro não nulo para k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}. O caso k=0 N=0, que não serve (precisamos de N>0).
Portanto não existe N\in\mathbb{Z}_{>0} que satisfaça a condição, logo a sequência não é periódica.

Passo 5

Intuição e exemplo complementar (para fixar o conceito).
  • Se o argumento angular \omega_0 fosse tal que \dfrac{\omega_0}{2\pi} fosse racional, por exemplo \omega_0=\dfrac{\pi}{2}, então
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{\pi/2}{2\pi}=\frac{1}{4}
é racional e existe N=4 tal que \omega_0 N=2\pi\cdot 1. Nesse caso \operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{2}n\big) é periódica de período N=4. Esse exemplo mostra o contraste: periodicidade depende de \omega_0/(2\pi) ser racional.
  • No nosso problema \dfrac{2}{2\pi}=\dfrac{1}{\pi} é irracional, então sem chance de período inteiro.

Passo 6

Conclusão final: a sequência dada não é periódica porque não existe inteiro positivo N que satisfaça a condição de periodicidade (isso decorre do fato de \pi ser irracional e da condição \,N=\pi k).

Resposta

A sequência x[n]=\operatorname{sen}(2n) não é periódica.

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