[12.] A equação diferencial ordinária linear de segunda ordem
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Calcular a única solução que satisfaça as condições iniciais,
Passo 1
O enunciado nos dá a família geral de soluções da equação diferencial:
que é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. As condições iniciais são
O que é pedido: encontrar a única solução
da família
que satisfaz as duas condições iniciais dadas.
Passo 2
Estratégia (curta e direta): como a solução geral
contém os parâmetros
e
, basta aplicar as condições iniciais para obter um sistema de duas equações lineares em
e
. Resolver esse sistema dá os valores de
e
, e então substitui-se esses valores em
para obter a solução procurada.
Passo 3
Aplicar a condição
. Calcular
:
Como
, segue que
Passo 4
Agora vamos obter
(derivada de
) passo a passo, explicando as regras usadas.
Regra usada: derivada de
é
. Regra do produto: a derivada de
é
Aplicando isso à
:
Como
e
são constantes, isso dá
Agrupando fatores:
Passo 5
Aplicar a condição
. Substituir
na expressão de
. Primeiro observe que
e
zera o termo com
, então
Já encontramos
no Passo 3, portanto
Como
, segue que
Passo 6
Encontramos os valores das constantes:
e
. Substituindo esses valores na família
obtém-se a solução particular que satisfaz as condições iniciais solicitadas.