[12.] A equação diferencial ordinária linear de segunda ordem
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0, \quad \text { tem uma família de soluções, } \quad \varphi(t)=K_{1} e^{-2 t}+K_{2} t e^{-2 t}íçõ
onde K_{1} e K_{2} são constantes reais arbitrárias. Calcular a única solução que satisfaça as condições iniciais,
y(0)=0 \quad \text { e } \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a família geral de soluções da equação diferencial:
y''+4y'+4y=0,
que é
\varphi(t)=K_{1}e^{-2t}+K_{2}t e^{-2t},
onde K_{1} e K_{2} são constantes reais arbitrárias. As condições iniciais são
y(0)=0\quad\text{e}\quad y'(0)=1.
O que é pedido: encontrar a única solução y(t) da família \varphi(t) que satisfaz as duas condições iniciais dadas.

Passo 2

Estratégia (curta e direta): como a solução geral \varphi(t) contém os parâmetros K_{1} e K_{2}, basta aplicar as condições iniciais para obter um sistema de duas equações lineares em K_{1} e K_{2}. Resolver esse sistema dá os valores de K_{1} e K_{2}, e então substitui-se esses valores em \varphi(t) para obter a solução procurada.

Passo 3

Aplicar a condição y(0)=0. Calcular \varphi(0):
\varphi(0)=K_{1}e^{0}+K_{2}\cdot 0\cdot e^{0}=K_{1}.
Como \varphi(0)=y(0)=0, segue que
K_{1}=0.

Passo 4

Agora vamos obter y'(t) (derivada de \varphi) passo a passo, explicando as regras usadas.
Regra usada: derivada de e^{-2t} é -2e^{-2t}. Regra do produto: a derivada de t e^{-2t} é
\frac{d}{dt}\big(t e^{-2t}\big)=1\cdot e^{-2t}+t\cdot(-2e^{-2t})=e^{-2t}-2t e^{-2t}.
Aplicando isso à \varphi(t):
y'(t)=\varphi'(t)=\frac{d}{dt}\big(K_{1}e^{-2t}\big)+\frac{d}{dt}\big(K_{2}t e^{-2t}\big).
Como K_{1} e K_{2} são constantes, isso dá
y'(t)=-2K_{1}e^{-2t}+K_{2}\big(e^{-2t}-2t e^{-2t}\big).
Agrupando fatores:
y'(t)=\big(-2K_{1}+K_{2}\big)e^{-2t}-2K_{2}t e^{-2t}.

Passo 5

Aplicar a condição y'(0)=1. Substituir t=0 na expressão de y'(t). Primeiro observe que e^{-2\cdot 0}=1 e t=0 zera o termo com t, então
y'(0)=\big(-2K_{1}+K_{2}\big)\cdot 1 -2K_{2}\cdot 0\cdot 1 = -2K_{1}+K_{2}.
Já encontramos K_{1}=0 no Passo 3, portanto
y'(0)=K_{2}.
Como y'(0)=1, segue que
K_{2}=1.

Passo 6

Encontramos os valores das constantes: K_{1}=0 e K_{2}=1. Substituindo esses valores na família \varphi(t) obtém-se a solução particular que satisfaz as condições iniciais solicitadas.

Resposta

y(t)=t e^{-2t}

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