Mude a variável dependente de maneira que cada equação seja um PVI com sua condição inicial dada no ponto zero.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
O que se pede: mudar a variável (de modo conveniente) para que o problema inicial fique com a condição dada em
; isto é, obter um PVI equivalente cuja condição inicial seja
.
Passo 2
Ideia simples e prática: deslocar a origem do tempo. Defino uma nova variável independente
tal que o ponto
passe a ser
. Portanto tomo
Agora defino a nova função dependente
por composição, isto é
Assim
é a mesma solução vista com a nova origem de coordenadas; em particular
.
Passo 3
Relacionando as derivadas: como
e
, pela regra da cadeia temos
Portanto
quando
.
Passo 4
Substituo
,
e
na equação original:
Agora uso as identidades trigonométricas (obtidas da fórmula
e
, com
):
Substituindo:
Passo 5
A condição inicial fica, como já observado,
Portanto o PVI equivalente com condição inicial no ponto zero é obtido e está pronto para ser resolvido se for preciso.