Mude a variável dependente de maneira que cada equação seja um PVI com sua condição inicial dada no ponto zero.
\quad u^{\prime}+(\operatorname{sen} t) u=\cos (t), u(\pi / 2)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
u'(t)+(\sin t)\,u(t)=\cos t,\qquad u\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
O que se pede: mudar a variável (de modo conveniente) para que o problema inicial fique com a condição dada em 0; isto é, obter um PVI equivalente cuja condição inicial seja v(0)=\cdots.

Passo 2

Ideia simples e prática: deslocar a origem do tempo. Defino uma nova variável independente \,s tal que o ponto t=\dfrac{\pi}{2} passe a ser s=0. Portanto tomo
s = t - \frac{\pi}{2}.
Agora defino a nova função dependente v por composição, isto é
v(s)=u(t)=u\!\left(s+\frac{\pi}{2}\right).
Assim v é a mesma solução vista com a nova origem de coordenadas; em particular v(0)=u\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right).

Passo 3

Relacionando as derivadas: como t=s+\dfrac{\pi}{2} e dt/ds=1, pela regra da cadeia temos
\frac{dv}{ds}=\frac{d}{ds}u\!\left(s+\frac{\pi}{2}\right)=u'\!\left(s+\frac{\pi}{2}\right).
Portanto u'(t)=v'(s) quando t=s+\dfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Substituo t=s+\dfrac{\pi}{2}, u(t)=v(s) e u'(t)=v'(s) na equação original:
v'(s)+\sin\!\left(s+\frac{\pi}{2}\right)\,v(s)=\cos\!\left(s+\frac{\pi}{2}\right).
Agora uso as identidades trigonométricas (obtidas da fórmula \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b e \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b, com b=\tfrac{\pi}{2}):
\sin\!\left(s+\frac{\pi}{2}\right)=\cos s,\qquad \cos\!\left(s+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin s.
Substituindo:
v'(s)+(\cos s)\,v(s)=-\sin s.

Passo 5

A condição inicial fica, como já observado,
v(0)=u\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Portanto o PVI equivalente com condição inicial no ponto zero é obtido e está pronto para ser resolvido se for preciso.

Resposta

v'(s)+(\cos s)\,v(s)=-\sin s,\qquad v(0)=0

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