Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais,
\frac{d^{n} x}{d y^{n}}=y^{3}+4
(i) ordem,

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (o enunciado foi copiado exatamente do problema).
  • A equação diferencial fornecida é \dfrac{d^{n} x}{d y^{n}} = y^{3} + 4.
  • O enunciado pede, no item (i), determinar a ordem da equação diferencial.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial? Vou explicar bem devagar, como num passo a passo para a prova.
  • Ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada que aparece na equação.
    Em outras palavras, se a derivada de maior ordem que aparece é \dfrac{d^m(\cdot)}{d y^{m}}, então a equação é de ordem m.
  • Exemplos simples para fixar:
    • A equação \dfrac{d x}{d y}=y tem ordem 1 (a maior derivada presente é de primeira ordem).
    • A equação \dfrac{d^2 x}{d y^2}+ \left(\dfrac{d x}{d y}\right)^2=0 tem ordem 2 (a maior derivada é a segunda).
  • Observação importante: a ordem depende apenas da maior derivada que aparece, não importa se o lado direito é uma função de y, de x ou de derivadas mais baixas. Por exemplo, \dfrac{d^3 x}{d y^3}= \sin y é ordem 3 mesmo que o RHS seja só função de y.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso:
  • Na equação dada a derivada de maior ordem que aparece é \dfrac{d^{n} x}{d y^{n}}.
  • Não há nenhuma derivada de ordem maior que essa na equação.
  • Portanto, pela definição de ordem, a ordem da equação é n.

Passo 4

Um pequeno reforço para você se sentir seguro na prova:
  • Se na prova aparecer \dfrac{d^{5} x}{d y^{5}} = \text{algo}, a ordem é 5.
  • Se aparecer \dfrac{d x}{d y} + \dfrac{d^2 x}{d y^2} = 0, a ordem é 2 (a maior entre 1 e 2 é 2).
    Essa é a maneira prática e rápida de identificar a ordem: olhe para a maior potência do operador de derivação.

Resposta

Ordem = n

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